[论文解读] Toward Instance-Optimal State Certification With Incoherent Measurements

Sitan Chen, Jerry Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

Random Matrices and Applications参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文建立了使用非自适应非相干测量进行量子态认证的实例最优复制复杂度界限，表明所需副本数按 $\Theta(f(\sigma)/\varepsilon^2)$ 缩放，其中 $f(\sigma)$ 与 $\sigma$ 和最大混合态之间的保真度成正比。令人惊讶的是，这一量子界限与经典实例最优界限在本质上不同，凸显了经典与量子属性测试之间的根本差异。

ABSTRACT

We revisit the basic problem of quantum state certification: given copies of unknown mixed state $ρ\in\mathbb{C}^{d imes d}$ and the description of a mixed state $σ$, decide whether $σ= ρ$ or $\|σ- ρ\|_{\mathsf{tr}} \ge ε$. When $σ$ is maximally mixed, this is mixedness testing, and it is known that $Ω(d^{Θ(1)}/ε^2)$ copies are necessary, where the exact exponent depends on the type of measurements the learner can make [OW15, BCL20], and in many of these settings there is a matching upper bound [OW15, BOW19, BCL20]. Can one avoid this $d^{Θ(1)}$ dependence for certain kinds of mixed states $σ$, e.g. ones which are approximately low rank? More ambitiously, does there exist a simple functional $f:\mathbb{C}^{d imes d} o\mathbb{R}_{\ge 0}$ for which one can show that $Θ(f(σ)/ε^2)$ copies are necessary and sufficient for state certification with respect to any $σ$? Such instance-optimal bounds are known in the context of classical distribution testing, e.g. [VV17]. Here we give the first bounds of this nature for the quantum setting, showing (up to log factors) that the copy complexity for state certification using nonadaptive incoherent measurements is essentially given by the copy complexity for mixedness testing times the fidelity between $σ$ and the maximally mixed state. Surprisingly, our bound differs substantially from instance optimal bounds for the classical problem, demonstrating a qualitative difference between the two settings.

研究动机与目标

• 为超越最坏情况混合态的量子态认证复杂度理解填补空白。
• 确定是否可使用非自适应非相干测量实现实例最优界限——其缩放依赖于 $\sigma$ 的函数形式。
• 为具有实际内存和时间约束的近期量子验证协议建立理论基础。
• 展示经典与量子实例最优界限在属性测试中的根本性差异。

提出的方法

• 基于似然比分析和 Weingarten 微积分，开发了一般性下界框架，以分析非自适应非相干测量。
• 引入一种新颖的分桶与质量去除技术，以处理高维态结构并降低估计中的方差。
• 采用密度矩阵 $\sigma$ 的递归分解，将其划分为特征值幅度递减的块，从而实现自适应误差控制。
• 设计一种认证算法，通过哈尓随机投影分别测试对角与非对角块，并使用二元假设检验子程序。
• 用近似 4-设计替代哈尓测度，以确保门效率实现的同时保持统计保证。
• 应用尾部概率界限与块矩阵分析，以控制多轮测量中的误差传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用非自适应非相干测量实现实例最优态认证，使得复制复杂度依赖于目标态 $\sigma$ 的函数形式？
• RQ2 当仅允许非相干测量时，非最大混合态的态认证复制复杂度如何缩放？
• RQ3 经典与量子实例最优界限在属性测试中是否存在根本性差异？
• RQ4 对于低秩或近似低秩的 $\sigma$ 等结构化态，最坏情况认证中的 $d^{3/2}$ 依赖关系是否可改进？
• RQ5 在非相干测量下，表征态认证最优复制复杂度的精确函数 $f(\sigma)$ 是什么？

主要发现

• 非自适应非相干态认证的复制复杂度为 $\widetilde{\Theta}(\|\sigma - \tau_d\|_2^{-1}/\varepsilon^2)$，其中 $\tau_d$ 为最大混合态，仅含对数因子差异。
• 该界限依赖于 $\sigma$ 与最大混合态之间的 $\ell_2$-距离，而非完整维度 $d$，表明当态接近最大混合态时性能更优。
• 所提出的算法在对数因子范围内达到实例最优性能，对于某些 $\sigma$ 显著优于最坏情况下的 $O(d^{3/2}/\varepsilon^2)$ 界限。
• 发现经典与量子实例最优界限之间存在出人意料的定性差异：量子界限依赖于与最大性的 $\ell_2$-范数偏差，而经典界限依赖于 $\ell_1$-范数。
• 分析表明，最坏情况界限中的 $d^{3/2}$-依赖关系源于非相干测量的结构，而非问题本身的内在复杂度。
• 该算法可使用近似 4-设计高效实现，支持门效率实现，时间复杂度为 $O(N \cdot \mathrm{polylog}\, d)$。