[论文解读] Towards a Global Springer Theory II: the double affine action

Zhiwei Yun|ArXiv.org|Apr 22, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文在抛物Hitchin复形上构造了分次双 affine Hecke代数（DAHA）的作用，扩展了先前工作中由仿射Weyl群诱导的作用。通过将DAHA作用与Picard堆的cap积作用统一，建立了全局Springer理论，揭示了带有除子的曲线上抛物Hitchin纤维上上同调的完整对称结构。

ABSTRACT

We construct an action of the graded double affine Hecke algebra (DAHA) on the parabolic Hitchin complex, extending the affine Weyl group action constructed in \cite{GSI}. In particular, we get representations of the degenerate DAHA on the cohomology of parabolic Hitchin fibers. We also generalize our construction to {\em parahoric} versions of Hitchin stacks, including the construction of 'tHooft operators as a special case. We then study the interaction of the DAHA action and the cap product action given by the Picard stack acting on the parabolic Hitchin stack.

研究动机与目标

• 将抛物Hitchin复形上的仿射Weyl群作用扩展为分次双 affine Hecke代数（DAHA）的完整作用。
• 将此构造推广至Hitchin堆的parahoric版本，包括't Hooft算符的情形。
• 研究DAHA作用与抛物Hitchin堆上Picard堆的cap积作用之间的相互作用。
• 在抛物Hitchin纤维的上同调上建立统一的对称结构，整合DAHA、陈类与cap积作用。
• 通过Hecke对应与模堆上等变上同调构造，提供DAHA作用的几何实现。

提出的方法

• 通过完成的Kac-Moody群及其在parahoric Hitchin堆上行列式线丛上的作用，构造DAHA作用。
• 利用扩展的仿射Weyl群$ tilde{W}$及其在完成环$ tilde{T}$上的作用，通过$ overline{bQ}_ ell[ tilde{W}]$与$ X^*( tilde{T})$上的对称代数的张量积定义DAHA结构。
• 通过Hecke对应及其$!$-拉回定义抛物Hitchin复形$f^{ ext{par}}_* overline{bQ}_ ell$上的作用。
• 在对应上引入$P$-等变结构，以关联Picard堆$ cal{P}$的cap积作用与DAHA作用。
• 利用基变换与恰当基变换定理，确保光滑态射下拉回与作用的相容性。
• 通过$!$-拉回同构与复形上的等变结构，证明cap积与DAHA作用的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将抛物Hitchin复形上的仿射Weyl群作用扩展为分次双 affine Hecke代数的完整作用？
• RQ2 DAHA作用在Hecke对应与具有parahoric结构的丛模堆上的几何实现为何？
• RQ3 Picard堆的cap积作用如何与抛物Hitchin纤维上同调中的DAHA作用相互作用？
• RQ4 该构造能否推广至parahoric版本的Hitchin堆，包括't Hooft算符的情形？
• RQ5 上同调复形上$ pi_0( cal{P}/ cal{A})$-作用与$ overline{bQ}_ ell[ X_*(T)]^W$-作用之间的精确关系为何？

主要发现

• 本文在抛物Hitchin复形$f^{ ext{par}}_* overline{bQ}_ ell$上构造了分次双 affine Hecke代数的明确定义作用，扩展了[YunI]中仿射Weyl群的作用。
• DAHA作用通过群环$ overline{bQ}_ ell[ tilde{W}]$与$ X^*( tilde{T})$上对称代数的张量积实现，其中$u$为次数为2的中心元。
• Picard堆$ cal{P}$的cap积作用与DAHA作用可交换，此结论通过$P$-等变对应与基变换定理得以证明。
• 通过Hecke对应卷积代数的构造，该方法可推广至parahoric Hitchin堆，包括't Hooft算符的情形。
• DAHA与cap积作用的相互作用通过涉及$ ext{Corr}(C; cal{F}, cal{G})$与$ bf{H}_*(P/S)$的交换图形式化，证明了其相容性。
• 当$ ext{char}(k) = 0$时，开子集$ cal{A} = cal{A}^{ ext{ani}}$已足够，确保整体上余维估计成立。