[论文解读] Towards a Global Springer Theory III: Endoscopy and Langlands duality

Zhiwei Yun|ArXiv.org|Apr 22, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文通过分析抛物Hitchin复形的内形理论与朗兰兹对偶性，建立了李代数群的全局Springer理论。它证明了内形分解定理，将Hitchin复形的直和项与内形群联系起来，并揭示了全局Springer作用与朗兰兹对偶群上陈类作用之间的镜像对称式对偶性，同时提供了一个新例子以说明该理论。

ABSTRACT

We prove three new results about the global Springer action defined in \cite{GSI}. The first one determines the support of the perverse cohomology sheaves of the parabolic Hitchin complex, which serves as a technical tool for the next results. The second one (the Endoscopic Decomposition Theorem) links certain direct summands of the parabolic Hitchin complex of $G$ to the endoscopic groups of $G$. This result generalizes Ngô's geometric stabilization of the trace formula in \cite{NgoFL}. The third result links the stable parts of the parabolic Hitchin complexes for Langlands dual groups, and establishes a relation between the global Springer action on one hand and certain Chern class action on the other. This result is inspired by the mirror symmetry between dual Hitchin fibrations. Finally, we present the first nontrivial example in the global Springer theory.

研究动机与目标

• 理解抛物Hitchin复形中 perverse 上同调层的支集结构。
• 将抛物Hitchin复形分解为由内形数据索引的直和项。
• 将G-Hitchin纤维上的全局Springer作用与朗兰兹对偶群G♭上的陈类作用联系起来。
• 在Hitchin纤维化与内形理论的背景下，实现朗兰兹对偶性的几何实现代。
• 提出全局Springer理论中的首个非平凡例子，以验证对偶性与分解定理。

提出的方法

• 使用增强的抛物Hitchin纤维化 $ f^{ extup{par}}: ilde{} o ilde{} o  imes X $ 来研究复形 $ ilde{f}_*ar{bQ}_l $。
• 应用分解定理，将 $ ilde{f}_*ar{bQ}_l $ 分解为移位的 perverse 丛。
• 分析 $ bX_*(T) $-作用于 $ ilde{f}_*ar{bQ}_l $ 以定义广义特征子复形。
• 利用B-C. Ngô的内形对应，将G及其内形群的Hitchin纤维联系起来。
• 建立通过 $ bX_*(T) $ 的Springer作用与通过 $ bX^*(T^lat) $ 在朗兰兹对偶群上的陈类作用之间的对偶性。
• 利用Picard堆的Tate模与Verdier对偶性，关联对偶群的Hitchin复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 抛物Hitchin复形的 perverse 上同调层如何根据其支集进行分解？
• RQ2 抛物Hitchin复形的哪些直和项来源于G的内形群？
• RQ3 G上全局Springer作用如何与朗兰兹对偶群G♭上的陈类作用相关联？
• RQ4 是否可以建立对偶群Hitchin纤维化之间的镜像对称式对偶性？
• RQ5 全局Springer理论中是否存在一个非平凡的几何例子？

主要发现

• 支集定理表明，抛物Hitchin复形的 perverse 上同调层的单个构成部分，其支集位于Hitchin基上由内形数据索引的特定层上。
• 内形分解定理将抛物Hitchin复形的直和项实现为从内形群拉回的复形，推广了Ngô的几何稳定化。
• G-Hitchin纤维上的全局Springer作用，通过上同调上的对偶同构，对应于G♭-Hitchin纤维上的陈类作用。
• Verdier对偶性交换了G与G♭的Hitchin复形，且G上的 $ bX_*(T) $-作用对偶于G♭上的 $ bX^*(T^lat) $-作用。
• 本文构建了一个全局Springer理论中的非平凡例子，显式计算了子正则抛物Hitchin纤维上 $ ilde{W} $-作用，并在该情形下验证了对偶定理。
• 证明了内形对应同构于Picard堆上一系列 $ bP^1 $-丛，其分量群同构于 $ bX_*(T)/ ext{im}(eta^lat_i) $，通过根系实现平移作用。