[论文解读] Towards a $p$-adic Langlands programme

Laurent Berger, Christophe Breuil|ArXiv.org|Aug 30, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文通过使用$(\varphi,\Gamma)$-模和瓦赫模，从${\rm Gal}(\overline{\bb Q}_p/\bb Q_p)$的2维一般晶状$p$-进表示出发，构造了具有连续${\rm GL}_2(\bb Q_p)$-作用的$p$-进巴拿赫空间，从而推进了$p$-进朗兰兹纲领。关键结果建立了此类表示与不可约巴拿赫空间表示之间的对应关系，并通过瓦赫模的连续性对模$p$的约化实现了显式控制。

ABSTRACT

These are the notes for an eponymous course given by the authors at the summer school on p-adic arithmetic geometry in Hangzhou.

研究动机与目标

• 启动$p$-进伽罗瓦表示与${\rm GL}_2(\bb Q_p)$的无穷维巴拿赫空间表示之间的$p$-进朗兰兹对应。
• 聚焦于具有不同霍奇-泰特权的2维、一般、晶状表示，其动机源于模形式。
• 从给定的伽罗瓦表示$V$出发，构造具有连续${\rm GL}_2(\bb Q_p)$-作用的$p$-进巴拿赫空间$\Pi(V)$。
• 研究$\Pi(V)$中的局部解析向量，并将其与$(\varphi,\Gamma)$-模联系起来。
• 证明$\Pi(V)^*$模$p$的约化是有限长度的，并在关键情形下验证约化猜想。

提出的方法

• 使用$p$-进霍奇理论和$(\varphi,\Gamma)$-模来参数化$p$-进伽罗瓦表示。
• 将巴拿赫空间$\Pi(V)$构造为$\bb Z_p$上取值于$p$-进巴拿赫空间的分布空间的强对偶。
• 通过一个典范映射，将$\Pi(V)^*$与$(\varphi,\Gamma)$-模的$\psi$-不变子模的逆极限联系起来。
• 利用瓦赫模来描述晶状表示，并控制与$\Gamma_{\bb Q_p}$相关的矩阵上的作用。
• 使用逐次逼近方法，证明在弗罗贝尼乌斯矩阵的小扰动下，瓦赫模构造的连续性。
• 利用矩阵方程$P\varphi(G) = G\gamma(P)$在$\bb B^{+}_{\bb Q_p}$上的模上定义$\varphi$与$\gamma$的相容作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从一个一般、晶状、2维的$p$-进伽罗瓦表示出发，构造一个具有连续${\rm GL}_2(\bb Q_p)$-作用的$p$-进巴拿赫空间？
• RQ2 $\Pi(V)$中的局部解析向量如何与$\Pi(V)^*$的$(\varphi,\Gamma)$-模结构相关联？
• RQ3 $\Pi(V)^*/p$的结构是什么？在何种条件下它是有限长度的？
• RQ4 与晶状表示相关的瓦赫模能否在弗罗贝尼乌斯矩阵的小扰动下连续变形？
• RQ5 当$T/pT$不可约时，关于模$p$约化的猜想是否成立？

主要发现

• 通过取温和分布空间的强对偶，实现了巴拿赫空间$\Pi(V)$的构造，从而得到连续的${\rm GL}_2(\bb Q_p)$-作用。
• $\Pi(V)^*$同构于$(\varphi,\Gamma)$-模的$\psi$-不变子模的逆极限，建立了与$p$-进霍奇理论的关键联系。
• 瓦赫模构造是连续的：只要扰动位于足够小的$p$-进理想中，弗罗贝尼乌斯矩阵$P$的小扰动将产生新的瓦赫模。
• 当满足赋值条件$v_p(a_p) \gg 0$时，存在一个瓦赫模$N_{k,a_p}$，使得$N_{k,a_p}/XN_{k,a_p} \cong D_{\rm cris}(V_{k,a_p}^*)$。
• $\Pi^0(V)/p$在一般情况下是有限长度的，且在$T/pT$不可约的所有情形下，约化猜想均得到验证。
• 连续性证明依赖于模$X$的各高次幂逐步求解矩阵方程，使用逐次逼近法和赋值$\alpha(k-1)$。