[论文解读] Towards a Particle-Number Conserving Theory of Majorana Zero Modes in p+ip Superfluids

Yiruo Lin, Anthony J. Leggett|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文為 p+ip 超流體中的 Majorana 零能模提出了一種守恆粒子數的框架，解決了 BCS 平均場理論的根本限制——該理論破壞 U(1) 觀稱性，違反粒子數守恆。透過修改配對方程以匹配激發態的準粒子布居數，作者在 Bogoliubov-de Gennes 形式中恢復了粒子數守恆，並表明此守恆對於拓撲量子計算中的可靠量子相干性至關重要。

ABSTRACT

Majorana zero modes are predicted to exist in p+ip (either inherent or effective due to proximity effect) superfluids and are proposed to be used for constructing topological qubits for topologically protected quantum computing. Existing theories on the subject are mostly based on BCS mean-field theory which breaks particle number conservation (U(1) symmetry). More specifically, Bogoliubov-de Gennes (BdG) equations are used to derive Majorana zero modes and their braiding properties. The broken particle number conservation is, on the other hand, respected in any fermionic condensed matter system and therefore may be crucial in studying quantum coherence, essential for quantum computing. In this paper, we work towards a particle-number conserving theory by examining the role played by particle number conservation in topological properties of Majorana zero modes. We conclude that the latter may be affected by the former and new theoretical framework that respects particle number conservation is needed in establishing (or dismissing) the existence of Majorana zero modes in p+ip superfluids and their application to topological quantum computing.

研究动机与目标

• 解決現有 BCS 平均場理論在 Majorana 零能模描述上的不一致問題，該理論破壞粒子數守恆（U(1) 觀稱性），儘管此性質在費米子多體系統中至為根本。
• 探討粒子數守恆如何影響 p+ip 超流體中 Majorana 零能模的拓撲性質。
• 發展一種尊重粒子數守恆的新理論框架，以驗證或排除這些系統中 Majorana 零能模的存在。
• 確保與拓撲量子計算應用中不可或缺的量子相干性要求一致。
• 透過調整配對方程以匹配特定激發態的準粒子布居數，重新表述 Bogoliubov-de Gennes 方程，恢復粒子數流的連續性。

提出的方法

• 使用準粒子創生與湮滅算符，在 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 形式中推導粒子數密度與電流算符。
• 分析連續性方程 $\dot{\rho} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$，以評估 BdG 框架中的粒子數守恆。
• 識別出標準 BdG 形式在激發態中粒子數守恆失效，原因在於配對方程不匹配。
• 將配對方程修改為 $\Delta = V \sum_{m,\sigma \neq (n,\uparrow)} u_m v_m^* - u_n v_n^*$，以對應單一激發準粒子態，使其與準粒子布居數一致。
• 證明在修改後的配對方程下，電流散度消失：$\langle \nabla \cdot \mathbf{j} \rangle = 0$，從而恢復粒子數守恆。
• 利用自洽配對方程與熱平衡平均值，驗證修改後的框架在基態與激發態下均滿足守恆定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 粒子數守恆如何影響 p+ip 超流體中 Majorana 零能模的拓撲穩定性與存在性？
• RQ2 為何標準 BCS 平均場理論在激發態中無法守恆粒子數？其對量子相干性有何影響？
• RQ3 能否透過修改配對方程，在 BdG 形式中恢復準粒子激發態的粒子數守恆？
• RQ4 準粒子布居數在決定 BdG 框架對拓撲超導體描述有效性方面扮演何種角色？
• RQ5 標準 BdG 方法是否足夠描述拓撲量子計算中 Majorana 零能模的性質？還是需要新的粒子數守恆形式？

主要发现

• 標準 BCS 平均場理論在 p+ip 超流體中，於激發態時違反粒子數守恆，這在 BdG 形式中表現為粒子電流散度非零。
• 對於單一激發準粒子態，粒子數守恆的破壞與 $-4e \, \text{Im}(\Delta^* u_n v_n^*)$ 成正比，除非調整配對方程，否則此值不為零。
• 透過重新定義配對方程以排除已佔據的準粒子態，修改後的形式恢復粒子數守恆，使 $\langle \nabla \cdot \mathbf{j} \rangle = 0$。
• 修改後的配對方程 $\Delta = V(\sum_{m,\sigma \neq (n,\uparrow)} u_m v_m^* - u_n v_n^*)$ 確保與準粒子布居數一致，使理論在激發態下自洽。
• 標準 BdG 方法中粒子數守恆的破壞程度為 $1/N$ 階，但在局域化準粒子態中變得顯著，從而破壞量子相干性。
• 結果表明，粒子數守恆框架對於拓撲超流體中 Majorana 零能模的可靠理論基礎及其在拓撲量子計算中的應用至關重要。