[论文解读] Towards a reversed Faber-Krahn inequality for the truncated Laplacian

Isabeau Birindelli, Giulio Galise+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文研究了截断拉普拉斯算子 $\mathcal{P}^{+}_{k}$ 的主特征值问题，该算子为退化的完全非线性椭圆型算子。研究建立了反向的 Faber-Krahn 不等式：在体积固定的矩形中，正方形使主特征值 $\mu_1^+$ 最大化，这与拉普拉斯算子情况下的经典 Faber-Krahn 不等式相反（后者中球体使特征值最小化）。该结果通过一维常微分方程和凸分析方法显式构造特征函数得以证明。

ABSTRACT

We consider the nonlinear eigenvalue problem, with Dirichlet boundary condition, for a class of very degenerate elliptic operators, with the aim to show that, at least for square type domains having fixed volume, the symmetry of the domain maximize the principal eigenvalue, contrary to what happens for the Laplacian.

研究动机与目标

• 研究区域的对称性是否使截断拉普拉斯算子 $\mathcal{P}^{+}_{k}$ 的主特征值最大化，与拉普拉斯算子的经典 Faber-Krahn 不等式相反。
• 确定对于 $\mathcal{P}^{+}_{1}$，严格凸性是否为正特征函数存在的必要条件，特别是在非严格凸区域（如矩形）中。
• 探讨拉普拉斯算子主特征值的定性性质（如单调性与对称性效应）是否可推广至截断拉普拉斯算子。
• 为 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ 建立反向的 Faber-Krahn 不等式，表明在体积固定的矩形中，正方形使特征值最大。

提出的方法

• 作者定义截断拉普拉斯算子 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) = \sum_{i=1}^k \lambda_{N+1-i}(D^2u)$，其中 $\lambda_i$ 为 Hessian 矩阵的有序特征值。
• 他们通过使用涉及 Hessian 矩阵最大特征值的一维常微分方程解，将矩形中的显式特征函数构造为一维函数的乘积。
• 存在性证明依赖于线性代数和常微分方程理论的基本工具，避免使用复杂的偏微分方程理论。
• 作者使用 Perron 方法证明了在有界区域中，方程 $\mathcal{P}^{+}_{1}(D^2u) + \mu u = 0$ 的 Dirichlet 问题存在唯一解。
• 通过比较原理和障碍构造，建立了 $C^{0,\frac{\beta}{N}}$ 霍尔德正则性。
• 通过比较体积相等的矩形之间的特征值，推导出反向 Faber-Krahn 不等式，表明正方形使 $\mu_1^+$ 达到最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于体积固定的矩形，截断拉普拉斯算子 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ 的主特征值 $\mu_1^+$ 是否随对称性增强而增大？
• RQ2 对于 $\mathcal{P}^{+}_{1}$，严格凸性是否为正特征函数存在的必要条件，还是此类特征函数可在非严格凸区域（如矩形）中存在？
• RQ3 是否可为 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ 建立反向的 Faber-Krahn 不等式，使得对称区域使特征值最大化而非最小化？
• RQ4 与拉普拉斯算子的主特征值 $\mu(\Delta)$ 相比，$\mu_1^+$ 在次可加性方面表现如何？Lieb 不等式是否对 $\mu_1^+$ 失效？
• RQ5 Dirichlet 问题解 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ 的正则性如何？在不假设 $\Omega$ 为凸集的条件下，全局霍尔德连续性是否仍成立？

主要发现

• 在体积固定的矩形中，正方形使截断拉普拉斯算子 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ 的主特征值 $\mu_1^+$ 最大化，从而确立了反向 Faber-Krahn 不等式。
• 体积相同的球体的主特征值 $\mu_1^+$ 大于正方形的特征值，进一步证实了反向不等式。
• 在矩形中，即使它们不是严格凸的，$\mathcal{P}^{+}_{1}$ 的显式特征函数也存在，从而否定了严格凸性对特征函数存在性的必要性。
• 在适当条件下，即使不假设 $\Omega$ 的凸性，$\mathcal{P}^{+}_{1}$ 的 Dirichlet 问题的解在 $\overline{\Omega}$ 上仍是全局 $C^{0,\frac{\beta}{N}}$-霍尔德连续的。
• Lieb 型次可加性不等式 $\mu(\Delta, A \cap B_x) < \mu(\Delta,A) + \mu(\Delta,B)$ 不适用于 $\mu_1^+$，事实上在某些矩形中该不等式可被反转。
• 非负上解 $\mathcal{P}^{+}_{1}(D^2u) \leq f$ 可能不具有全局霍尔德连续性，如反例 $u(x) = 1/(\sigma - \sum \log(\cos x_i))$ 所示，其在霍尔德范数下不连续。