[论文解读] Towards a Thomason model structure on the category of strict n-categories

Dimitri Ara, Georges Maltsiniotis|arXiv (Cornell University)|May 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出了一套抽象框架，用于在严格 n-范畴上构建类似 Thomason 的模型结构，将 Thomason 在普通范畴上的经典模型结构推广至严格 n-范畴。基于 Grothendieck 和 Cisinski 的思想，本文建立了一个抽象的 Thomason 定理，该定理蕴含经典结果，并给出了 2-范畴 Thomason 定理的正确证明，同时明确了 n ≥ 3 时的充分条件。

ABSTRACT

The purpose of this article is to present ideas towards obtaining a model category structure on the category of small strict n-categories, generalizing the one obtained by Thomason on ordinary categories. Following ideas of Grothendieck and Cisinski, we obtain an "abstract Thomason theorem", which easily implies the classical Thomason theorem. We deduce a 2-categorical Thomason theorem, an incorrect proof of which has been published by K. Worytkiewicz, K. Hess, P. Parent and A. Tonks. For n > 2, we isolate sufficient conditions to obtain an n-categorical Thomason theorem. These conditions will be investigated in further work.

研究动机与目标

• 本文旨在将 Thomason 在普通范畴上的模型结构推广至严格 n-范畴。
• 旨在解决 Worytkiewicz 等人先前发表的 2-范畴 Thomason 定理证明中的错误。
• 目标包括通过 Grothendieck 和 Cisinski 的思想，建立 n-Cat 上模型结构的一般抽象框架。
• 旨在分离出在 n > 2 时严格 n-范畴上存在类似 Thomason 模型结构的充分条件。
• 本工作为未来研究不同神经函子与 n-Cat 上模型结构之间的相容性奠定了基础。

提出的方法

• 作者基于 Grothendieck 对同调代数的思想，发展了 W-协纤维化的理论。
• 他们引入了带有筛子与余筛子的范畴的概念，将范畴论中的概念推广至 n-范畴设定。
• 本文应用转移定理，通过 Street 的 n-神经函子，将单纯集上的模型结构提升至 n-范畴。
• 它使用抽象 Thomason 定理作为统一原则，该定理将经典 Thomason 结果作为特例涵盖在内。
• 2-范畴定理的证明依赖于对 2-筛子的可缩张量化变形的稳定性结果。
• 作者分析了所提议的 2-Cat 上模型结构中的协纤维对象，建立了进一步研究所需的基础性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在严格 n-范畴（n ≥ 2）上构建类似 Thomason 的模型结构？
• RQ2 抽象 Thomason 定理框架是否提供一个统一原则，能同时蕴含经典结果与 2-范畴结果？
• RQ3 哪些关于 2-筛子及其变形的条件能确保 2-Cat 上模型结构的存在性？
• RQ4 当 n > 2 时，严格 n-范畴上存在此类模型结构的充分条件是什么？
• RQ5 不同神经函子（Street、单纯、细胞）在诱导 Ho(n-Cat) 中等价弱等价关系方面有何关系？

主要发现

• 抽象 Thomason 定理被确立为一个一般性原则，它蕴含了 Cat 上的经典 Thomason 定理。
• 给出了 2-范畴 Thomason 定理的正确证明，纠正了 Worytkiewicz 等人先前发表论文中的错误。
• 本文识别出对可缩张量化变形的 2-筛子的稳定性条件，这是构建 2-范畴模型结构的关键。
• 对于 n > 2，本文分离出在严格 n-范畴上可构建类似 Thomason 模型结构的充分条件。
• 所提议的 2-Cat 上模型结构中的协纤维对象被明确刻画，为后续分析提供了关键技术步骤。
• 该框架为证明 Street n-神经函子、单纯 n-神经函子与细胞 n-神经函子在 Ho(n-Cat) 中均诱导等价的弱等价关系奠定了基础。