[论文解读] Towards Generalizing Schubert Calculus in the Symplectic Category

Rebecca Goldin, Susan Tolman|ArXiv.org|Apr 8, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的限制公式，用于紧致哈密顿环作用下具有孤立不动点的对称复流形的等变上同调中的典范类。通过利用通用的矩量映射分量和GKM图数据，该公式给出了这些类在不动点上限制的显式正性有理表达式，推广了等变施普伦格典则上同调，并在GKM情形下证明了当矩量映射分量为指数递增时，存在整数典范类。

ABSTRACT

The main purpose of this article is to extend some of the ideas from Schubert calculus to the more general setting of Hamiltonian torus actions on compact symplectic manifolds with isolated fixed points. Given a generic component of the moment map, we define a canonical class α_p in the equivariant cohomology of the manifold M for each fixed point p of M. When they exist, canonical classes form a natural basis of the equivariant cohomology of M; in particular, when M is a flag variety, these classes are the equivariant Schubert classes. We show that the restriction of a canonical class α_p to a fixed point q can be calculated by a rational function which depends only on the value of the moment map, and the restriction of other canonical classes to points of index exactly two higher. Therefore, the structure constants can be calculated by a similar rational function. Our restriction formula is manifestly positive in many cases, including when M is a flag manifold. Finally, we prove the existence of integral canonical classes in the case that M is a GKM manifold the moment map component is index increasing. In this case, our restriction formula specializes to an easily computable rational sum which depends only on the GKM graph.

研究动机与目标

• 将施普伦格典则上同调从旗流形推广至一般具有孤立不动点的紧致对称复流形。
• 在等变上同调中定义推广了等变施普伦格类的典范类。
• 仅利用矩量映射值和GKM图数据，推导出这些类的可计算且显式正性的限制公式。
• 在GKM情形下，当矩量映射分量为指数递增时，证明整数典范类的存在性。
• 提供一种系统化方法，用于计算等变上同调环中的结构常数。

提出的方法

• 将典范类 αₚ ∈ H_T^{2λ(p)}(M;ℚ) 定义为等变上同调类，其在点 p 处限制为正权的乘积，并在所有满足 λ(q) ≤ λ(p) 的不动点 q 处为零。
• 利用矩量映射的通用分量 Ψ = Φ^ξ 作为莫尔斯函数，以定义指标 λ(p) 和负法丛权。
• 推导出仅依赖于 Ψ 值和 α_r(r')（其中 r' 的指标比 r 高两位）的 αₚ(q) 的有理限制公式。
• 证明当GKM图满足某些正性条件时，该限制公式为显式正性，包括旗流形情形。
• 通过从商空间的提升构造，在GKM情形下且矩量映射分量为指数递增时，建立整数典范类的存在性。
• 通过将公式特化至GKM流形，将限制表达为仅依赖于边权和矩量映射值的GKM图中路径的有理和。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在旗流形之外的一般具有孤立不动点的对称复流形上定义等变上同调中的典范类？
• RQ2 是否存在仅依赖于矩量映射值和GKM图结构的典范类限制公式？
• RQ3 该限制公式在自然几何设定下能否被构造为显式正性？
• RQ4 在GKM设定下，整数典范类存在的条件是什么？
• RQ5 如何从限制数据计算等变上同调环中的结构常数？

主要发现

• 典范类 αₚ 在不动点 q 处的限制由仅依赖于 Ψ 值和 α_r(r')（其中 r' 的指标比 r 高两位）的有理函数给出。
• 在许多情形下，包括当 M 为旗流形时，该限制公式为显式正性，原因在于矩量映射差值和正权的正性。
• 在GKM情形下，当矩量映射分量为指数递增时，整数典范类存在，且限制公式简化为GKM图中路径的有理和。
• 对于旗流形 Fl(ℂⁿ)，该限制公式仅产生正项，因为所有矩量映射差值和权均为正。
• 存在无凯勒结构的GKM流形，其典范类 αₚ 在某些不动点处限制为负，如 Θ(p,q) 值为负所示。
• 等变上同调环中的结构常数 c_pq^r 可通过公式 α_p α_q = ∑_r c_pq^r α_r 从限制数据计算得出。