[论文解读] Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities

Avishay Tal|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了一种使用随机正交矩阵的 $k$-fold Forrelation 问题的新变体，展示了量子查询复杂度为 $2^{O(k)}$，随机化查询复杂度为 $\tilde{\theta}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$。该结果首次在部分布尔函数上实现了 $O(1)$ 与 $N^{2/3 - \varepsilon}$ 之间的量子与随机化查询复杂度的最优分离，其方法基于决策树伪随机性的傅里叶分析技术。

ABSTRACT

The query model offers a concrete setting where quantum algorithms are provably superior to randomized algorithms. Beautiful results by Bernstein-Vazirani, Simon, Aaronson, and others presented partial Boolean functions that can be computed by quantum algorithms making much fewer queries compared to their randomized analogs. To date, separations of $O(1)$ vs. $\\sqrt{N}$ between quantum and randomized query complexities remain the state-of-the-art (where $N$ is the input length), leaving open the question of whether $O(1)$ vs. $N^{1/2+\\Omega(1)}$ separations are possible? We answer this question in the affirmative. Our separating problem is a variant of the Aaronson-Ambainis $k$-fold Forrelation problem. We show that our variant: (1) Can be solved by a quantum algorithm making $2^{O(k)}$ queries to the inputs. (2) Requires at least $\ ilde{\\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ queries for any randomized algorithm. For any constant $\\varepsilon>0$, this gives a $O(1)$ vs. $N^{2/3-\\varepsilon}$ separation between the quantum and randomized query complexities of partial Boolean functions. Our proof is Fourier analytical and uses new bounds on the Fourier spectrum of classical decision trees, which could be of independent interest. Looking forward, we conjecture that the Fourier bounds could be further improved in a precise manner, and show that such conjectured bounds imply optimal $O(1)$ vs. $N^{1-\\varepsilon}$ separations between the quantum and randomized query complexities of partial Boolean functions.

研究动机与目标

• 为缩小已知的量子与随机化查询复杂度分离之间的差距，特别是验证 $O(1)$ 与 $N^{1/2 + \Omega(1)}$ 分离是否可能。
• 通过构建具有更强分离性的新问题变体，改进当前最先进的 $O(1)$ 与 $\sqrt{N}$ 分离。
• 证明使用随机正交矩阵的 $k$-fold Rorrelation 问题，随机化算法需要 $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ 次查询。
• 建立决策树函数的 $L_{1,\ell}$-范数的傅里叶分析界，这是下界证明的核心。
• 推测更紧致的傅里叶界将导致最优的 $O(1)$ 与 $N^{1-\varepsilon}$ 分离，从而推进查询复杂度研究的前沿。

提出的方法

• 引入一种新的 $k$-fold Forrelation 问题变体，称为 $k$-fold Rorrelation，使用均匀随机正交矩阵而非哈达玛矩阵。
• 将 Rorrelation 函数定义为涉及 $k$ 个输入向量和一个随机正交矩阵 $U$ 的多重线性形式，目标是区分结构化输入与随机输入。
• 证明量子算法可通过递归的类似哈达玛变换的方式，使用 $2^{O(k)}$ 次查询解决 $k$-fold Rorrelation 问题。
• 通过分析决策树的傅里叶谱并有界其 $L_{1,\ell}$-范数，证明任何随机化决策树必须进行 $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ 次查询。
• 利用输入分布 $\mathcal{D}_{U,k}$（从随机正交矩阵中抽取）的伪随机性，表明任何浅层随机化决策树都无法将其与均匀输入区分开。
• 推导 $\mathcal{D}_{U,k}$ 的矩界，并利用它们证明在 $\mathcal{D}_{U,k}$ 上决策树的期望值接近其在均匀输入上的值，从而导出查询复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在部分布尔函数上实现 $O(1)$ 与 $N^{1/2 + \Omega(1)}$ 之间的量子与随机化查询复杂度分离？
• RQ2 使用随机正交矩阵的 $k$-fold Rorrelation 问题对随机化算法是否困难，且能否通过傅里叶分析证明其困难性？
• RQ3 深度为 $d$ 的决策树的 $L_{1,\ell}$-范数的紧致界是什么，其与查询复杂度下界有何关联？
• RQ4 能否利用 $\mathcal{D}_{U,k}$ —— 一种通过随机正交矩阵抽取的 $k$-元组向量分布的伪随机性，来证明随机化查询复杂度的下界？
• RQ5 对决策树的傅里叶界改进是否意味着能实现最优的 $O(1)$ 与 $N^{1-\varepsilon}$ 之间的量子与随机化查询复杂度分离？

主要发现

• 本文构建了一个部分布尔函数，其量子查询复杂度为 $2^{O(k)}$（对固定 $k$ 为常数），随机化查询复杂度为 $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$。
• 对于任意常数 $\varepsilon > 0$，该构造实现了 $O(1)$ 与 $N^{2/3 - \varepsilon}$ 之间的量子与随机化查询复杂度分离。
• 量子算法以 $2^{O(k)}$ 次查询解决 $k$-fold Rorrelation 问题，与 Aaronson 和 Ambainis 对 $k$-fold Forrelation 的上界一致。
• 随机化查询复杂度的下界来自对深度为 $d$ 的决策树的 $L_{1,\ell}$-范数的新傅里叶分析界，表明 $L_{1,\ell}(f) \leq \binom{d}{\ell}$。
• 由 $k$-元组向量通过随机正交矩阵生成的分布 $\mathcal{D}_{U,k}$ 对浅层随机化决策树具有伪随机性，从而支持了下界证明。
• 作者推测，若能获得决策树 $L_{1,\ell}$-范数的更紧致界，将可实现最优的 $O(1)$ 与 $N^{1-\varepsilon}$ 分离，暗示了填补查询复杂度研究剩余差距的路径。