[论文解读] Towards relative invariants of real symplectic 4-manifolds

Jean-Yves Welschinger|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通过计数经过实点配置且与 $\mathbb{R}X$ 中满足 $[L] = 0$ 的光滑曲线 $L \subset \mathbb{R}X$ 相切的实有理 $J$-全纯曲线，为实辛 4-流形引入了一种新的整数值不变量，记为 $\Gamma^{d,B}_{r}$。该不变量通过曲线的带符号求和定义，包含实双重点的质量和与以 $L$ 为边界的曲面 $B$ 的接触指标，并被证明是形变不变的，且与通用几乎复结构和点配置的选择无关。

ABSTRACT

Let $(X, ω, c_X)$ be a real symplectic 4-manifold with real part $R X$. Let $L \subset R X$ be a smooth curve such that $[L] = 0 \in H_1 (R X ; Z / 2Z)$. We construct invariants under deformation of the quadruple $(X, ω, c_X, L)$ by counting the number of real rational $J$-holomorphic curves which realize a given homology class $d$, pass through an appropriate number of points and are tangent to $L$. As an application, we prove a relation between the count of real rational $J$-holomorphic curves done in math.AG/0303145 and the count of reducible real rational curves done in math.SG/0502355. Finally, we show how these techniques also allow to extract an integer valued invariant from a classical problem of real enumerative geometry, namely about counting the number of real plane conics tangent to five given generic real conics.

研究动机与目标

• 为实辛 4-流形定义一种新的相对不变量，该不变量结合了对实拉格朗日子曲 $L$ 的相切条件。
• 通过引入对与 $L$ 相切的实有理 $J$-全纯曲线的带符号计数，扩展 [9] 和 [10] 中的先前不变量。
• 建立一个形变不变的整数值不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}$，其仅依赖于同调类 $d$、$B$ 的同伦类以及点配置数据 $r$。
• 将该不变量应用于实枚举几何中的经典问题，例如计数与五个实圆锥曲线相切的实圆锥曲线。
• 将构造推广至允许奇点和多重相切条件的情形，同时在小形变下保持不变性。

提出的方法

• 将不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}(J,\underline{x})$ 定义为对实现同调类 $d$、经过实点配置 $\underline{x}$ 且与 $L$ 相切的实有理 $J$-全纯曲线的带符号求和。
• 为每条曲线 $C$ 分配符号 $(-1)^{m(C)}$，其中 $m(C)$ 为 $C$ 的实孤立双重点的数量。
• 基于曲线与 $B$ 的交点在切点附近是否局部限制于切点或包含 $B$ 中的曲线，引入取值于 $\{-1, +1\}$ 的接触指标 $<C,B>$。
• 对于可约曲线，定义多重集指标 $\mathop{\rm mult}\nolimits_B(C)$ 为曲线分量与 $B$ 的交点的带符号求和。
• 使用通用几乎复结构 $J \in \mathbb{R}\mathcal{J}_\omega$ 以确保横截性和模空间的有限性。
• 通过分析同伦过程中（特别是涉及相切和尖点形成时的退化）的局部行为，证明该不变量在 $J$、$\underline{x}$ 和 $B$ 的形变下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为实辛 4-流形构造一种相对不变量，用于计数与实拉格朗日子曲 $L$ 相切的实有理 $J$-全纯曲线？
• RQ2 与先前不变量相比，将 $L$ 的相切条件纳入后，计数的不变性与整数值性质如何受到影响？
• RQ3 在相同设定下，与 $L$ 相切的不可约实有理曲线的计数与可约实有理曲线的计数之间存在何种关系？
• RQ4 不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ 是否可用于恢复或关联经典实枚举几何结果，例如计数与五个实圆锥曲线相切的实圆锥曲线？
• RQ5 当 $L$ 经历退化（如二阶接触点）时，$B$ 的小同伦下不变量的行为如何？

主要发现

• 不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ 与通用几乎复结构 $J$ 和实点配置 $\underline{x}$ 的选择无关，因此是定义良好的形变不变量。
• 不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ 为整数值，且在 $L$ 固定且在 $H_1(\mathbb{R}X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 中满足 $[L] = 0$ 的条件下，其在 $B$ 的同伦下保持不变。
• 建立了 [9] 中实有理 $J$-全纯曲线的计数与 [10] 中可约曲线计数之间的关系，该关系由新不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ 所介导。
• 对于计数与五个一般实圆锥曲线相切的实平面圆锥曲线这一经典问题，不变量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ 恢复了一个在小形变下保持不变的整数值计数。
• 在 $L_1^t$ 从横截接触过渡到与 $L_2$ 相切的一族退化中，不变量的变化量为 $2<L_2, B_1^0>$ 乘以与 $L_1^0$ 和 $L_2$ 相切的圆锥曲线的带符号贡献之和，揭示了一个精确的跳跃公式。
• 该构造可推广至 $B$ 和 $L$ 具有有限个分支点的情形，此时定义 $<x,B>$ 为 $x$ 在 $B$ 中的原像数的两倍减一，且不变性得以保持。