[论文解读] Towards the finite slope part for $\mathrm{GL}_n$

Christophe Breuil, Florian Herzig|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文针对一个 $p$-进域 $L$ 上的 $n$ 维晶体伽罗瓦表示 $ ho$，利用主系的局部解析 socle 构造了 $ {GL}_n(L)$ 的一个有限长度局部 $\mathbb{Q}_p$-解析表示 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$。在温和的通用性条件下，证明了该表示可嵌入到 $p$-进自守形式空间中，为有限斜率情形下 $p$-进局部 Langlands 猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

Let $L$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$ and $n\geq 2$. We associate to a crystabelline $n$-dimensional representation of $\mathrm{Gal}(\overline L/L)$ satisfying mild genericity assumptions a finite length locally $\mathbb{Q}_p$-analytic representation of $\mathrm{GL}_n(L)$. In the crystalline case and in a global context, using the recent results on the locally analytic socle from [BHS17a] we prove that this representation indeed occurs in spaces of $p$-adic automorphic forms. We then use this latter result in the ordinary case to show that certain "ordinary" $p$-adic Banach space representations constructed in our previous work appear in spaces of $p$-adic automorphic forms. This gives strong new evidence to our previous conjecture in the $p$-adic case.

研究动机与目标

• 为满足温和通用性假设的晶体伽罗瓦表示 $\rho$，显式构造 $ {GL}_n(L)$ 的一个有限长度局部 $\mathbb{Q}_p$-解析表示 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$。
• 证明当 $\rho$ 为晶体表示时，$\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ 作为子表示出现在 $p$-进自守形式空间中。
• 将该结果推广至平凡情形，证明此前工作中构造的某些 $p$-进 Banach 空间表示出现在 $p$-进自守形式中。
• 通过将有限斜率部分实现为自守 $p$-进 Banach 空间中的子表示，为 $p$-进局部 Langlands 猜想提供强有力证据。

提出的方法

• 将 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ 构造为若干主系极大子表示的直和的商表示，其滤子由 $\rho$ 的局部解析 socle 中的不可约分支构成。
• 使用局部解析 socle $\mathcal{C}^{\operatorname{soc}}(\rho)$，其由参数化为 Hodge–Tate 权重的排列与 Frobenius 特征值的精化所确定的不可约表示 $C(w^{\mathrm{alg}}, \mathcal{F})$ 构成。
• 应用 [BHS17a] 中关于局部解析 socle 的结果，识别出 $\widehat{S}(U^p,E)_{\mathbb{Q}_p\text{-an}}[\mathfrak{m}_r]$ 中最大的已知子表示。
• 利用泛单位酉完备化与局部解析表示之间的部分伴随关系，将构造与自守形式联系起来。
• 利用同构关系 $\operatorname{Hom}_{\underline{G}(F_p^+)}(\widehat{\otimes}\Pi(r_{\widetilde{v}})_{C_{r_{\widetilde{v}}},w_{\widetilde{v}}^{-1}}(\varepsilon^{n-1}), \widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]) \cong \varprojlim \operatorname{Hom}(\widehat{\otimes}\mathrm{PS}(w_{\widetilde{v}}, \sigma_{\widetilde{v}}w_{\widetilde{v}})^{\wedge}(\varepsilon^{n-1}), \cdots)$，将 socle 中的嵌入关系扩展至完整表示。
• 依赖于猜想 5.10 与定理 5.11，以确立所需 $\mathrm{GL}_n(L)$-表示在自守空间中的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为满足温和通用性条件的晶体伽罗瓦表示 $\rho$，显式构造 $ {GL}_n(L)$ 的一个有限长度局部 $\mathbb{Q}_p$-解析表示？
• RQ2 所构造的表示 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ 是否作为子表示出现在 $p$-进自守形式空间中？
• RQ3 在平凡情形下，作者先前构造的 $p$-进 Banach 空间表示是否出现在 $p$-进自守形式中？
• RQ4 自守 $p$-进 Banach 空间表示的有限斜率部分是否具有有限长度，并可嵌入到自守空间中？
• RQ5 该构造在多大程度上为 $ {GL}_n$ 的 $p$-进局部 Langlands 对应关系提供了证据？

主要发现

• 表示 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ 作为 $ {GL}_n(L)$ 的一个有限长度、可约、局部 $\mathbb{Q}_p$-解析表示被构造出来，其基于与 $\rho$ 相关的主系的局部解析 socle。
• 对于晶体 $\rho$，$\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ 嵌入到 $\widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$ 的局部解析向量中，这是对 $n \geq 2$ 情形下自守形式中有限斜率部分的首次显式实现。
• 在平凡情形下，定理证明了 $\widehat{\otimes}_{v|p} \Pi(r_{\widetilde{v}})^{\mathrm{ord}}(\varepsilon^{n-1})$ 单射嵌入到 $\widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$，表明平凡 $p$-进 Banach 空间表示确实出现在自守形式中。
• 该单射由 $\bigoplus_w \left(\widehat{\otimes}_{v|p} \Pi(r_{\widetilde{v}})_{C_{r_{\widetilde{v}}},w_{\widetilde{v}}^{-1}}(\varepsilon^{n-1})\right)^{\oplus n_w} \hookrightarrow \widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$ 给出，其中 $n_w$ 表示 socle 中 $\mathrm{GL}_n(L)$-不变向量的重数。
• 该构造在猜想 5.10 成立的条件下，证实了 [BH15, Conj. 4.2.2] 在晶态情形下的猜想，并修正了 [BH15, Thm. 4.4.8] 原证明中的一个错误。
• 对于 $n \geq 2$，有限斜率部分 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ 是 $\widehat{S}(U^p,E)_{\mathbb{Q}_p\text{-an}}[\mathfrak{m}_r]$ 中已知最大的子表示，进一步进展可能需要新思路。