[论文解读] Ordinary representations and companion points for U(3) in the indecomposable case

John Bergdall, Przemysław Chojecki|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通過證明某些 $p$-adic Banach 表示（由 $㼿$ 上的通用普通伽羅瓦表示構造）出現在三變量確定酉群的完備上同調中，從而驗證了布里耶爾與赫爾齊格的猜想。利用特徵簇與 $p$-adic 自守形式，作者建立了普通表示的張量積到完備上同調的 $\ho$-同構分量的閉嵌入，從而驗證了 $p$-adic Langlands 程式在 $⼯$ 之外的一個關鍵預測。該結果在 $p$-進伽羅瓦表示在局部完全不可分解的條件下成立。主要貢獻在於透過特徵簇與完備上同調，實現了布里耶爾–赫爾齊格的普通表示的全局實現。

ABSTRACT

We prove that certain p-adic Banach representations, associated to local ordinary Galois representations, constructed by Breuil and Herzig appears in the completed cohomology of a definite unitary group in three variables. This confirms part of their conjecture. Our main technique is making use of p-adic automorphic forms for definite unitary groups and the eigenvarieties which parameterize them.

研究动机与目标

• 驗證布里耶爾與赫爾齊格關於 $㼿$ 的普通伽羅瓦表示所關聯的 $p$-adic Banach 空間表示的全局實現在猜想。
• 將布里耶爾–艾默頓在 $⼯$ 上的局部-全局相容結果推廣至三變量的確定酉群。
• 建立在完全不可分解條件下，普通表示 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 出現在確定酉群 $G = 㼿$ 的完備上同調中。
• 利用特徵簇與 $p$-adic 自守形式作為工具，分析完備上同調的結構，並檢測這些表示的存在。

提出的方法

• 作者利用參數化三變量確定酉群上 $p$-adic 自守形式的特徵簇，來研究完備上同調的結構。
• 他們分析特徵簇上伽羅瓦表示的精細族，並研究權重映射的分歧，以識別伴隨點與壞點。
• 證明依賴於一個伴隨公式，將局部解析表示的 Jacquet 模與上同調數據關聯，使用 Verma 模與 Iwasawa 理論。
• 透過在特徵簇上臨界點與非臨界點上對局部解析誘導 $I_{\text{an}}(z)^{\text{vee}}$ 進行併合，實現了表示 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 的構造。
• 關鍵技術工具是使用完備上同調的 Jacquet 模，以檢測 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 作為子表示的存在。
• 透過分析 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 與完備上同調的 $\rho$-同構分量之間的 Hom 空間，作者建立了單射映射，從而證明了嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 布里耶爾與赫爾齊格為 $㼿$ 構造的普通表示 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 是否出現在三變量確定酉群的完備上同調中？
• RQ2 參數化 $p$-adic 自守形式的特徵簇能否檢測到 $p$-進伽羅瓦表示 $\rho_v$ 在 $p$-進位上的局部表示？
• RQ3 伴隨點與壞點在完備上同調與特徵簇的結構中扮演何種角色？
• RQ4 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 的 socle 濃縮層次如何反映局部伽羅瓦表示 $\rho_v$ 的可分解性？
• RQ5 在何種條件下，表示 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 偵入完備上同調的 $\rho$-同構分量？

主要发现

• 本文證明：對於一個通用的、普通的且完全不可分解的伽羅瓦表示 $㼿(\rho_v)$，其關聯的普通 Banach 表示 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 偵入完備上同調的 $\rho$-同構分量 $㼿^0(K^p)_L$ 中。
• 該嵌入被實現為一個閉嵌入：$\widehat{\bigotimes}_{v\mid p} \u3F3F(\rho_v)^{\text{ord}} \hookrightarrow \u3F3F^0(K^p)_L^\lambda$，從而確認了 [BH, Conjecture 4.2.2] 的弱形式。
• 證明依賴於特徵簇上伴隨點的存在性與完備上同調的 Jacquet 模結構，這使得能夠檢測 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 作為子表示。
• $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 被證明同構於在滿足某個條件 $(\dagger)$ 的點上，對局部解析誘導 $I_{\text{an}}(z)^\wedge$ 進行併合的結果，其中在 Bruhat 序中最大的元素起關鍵作用。
• 對於 $㼿(\rho_v)^{\text{ord}}$ 不完全不可分解的情形，作者證明其仍透過兩個不可約分量的直和嵌入完備上同調中，每個分量由特徵簇上的一個不同點檢測。
• 該結果透過特徵簇與完備上同調，實現了布里耶爾–赫爾齊格普通表示的全局實在，為 $p$-adic Langlands 對應在 $\u2F2F$ 之外提供了證據。