[论文解读] Towards the Locality of Vizing's Theorem

Hsin-Hao Su, Hoa T. Vu|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了两种针对简单图的分布式边染色算法：一种使用 Δ+2 种颜色的随机化算法，另一种使用 Δ+O(log n/log log n) 种颜色的确定性算法，两者均在 poly(Δ, log n) 轮内运行。该方法将边染色问题转化为一种受限的在线球入桶问题，通过实现低局部负载来最小化颜色数量，同时保持高效的局部性。

ABSTRACT

Vizing showed that it suffices to color the edges of a simple graph using $Δ+ 1$ colors, where $Δ$ is the maximum degree of the graph. However, up to this date, no efficient distributed edge-coloring algorithms are known for obtaining such a coloring, even for constant degree graphs. The current algorithms that get closest to this number of colors are the randomized $(Δ+ ildeΘ(\sqrtΔ))$-edge-coloring algorithm that runs in $ ext{polylog}(n)$ rounds by Chang et al. (SODA '18) and the deterministic $(Δ+ ext{polylog}(n))$-edge-coloring algorithm that runs in $ ext{poly}(Δ, \log n)$ rounds by Ghaffari et al. (STOC '18). We present two distributed edge-coloring algorithms that run in $ ext{poly}(Δ,\log n)$ rounds. The first algorithm, with randomization, uses only $Δ+2$ colors. The second algorithm is a deterministic algorithm that uses $Δ+ O(\log n/ \log \log n)$ colors. Our approach is to reduce the distributed edge-coloring problem into an online, restricted version of balls-into-bins problem. If $\ell$ is the maximum load of the bins, our algorithm uses $Δ+ 2\ell - 1$ colors. We show how to achieve $\ell = 1$ with randomization and $\ell = O(\log n / \log \log n)$ without randomization.

研究动机与目标

• 弥合 Vizing 的最优 Δ+1 边染色与现有分布式算法之间在颜色使用数量上的差距。
• 开发高效且使用接近最优颜色数的分布式算法，同时保持多对数或低多项式时间复杂度。
• 将分布式边染色中使用的颜色数量减少至 2Δ−1 以下，趋近于 Vizing 的 Δ+1 上限。
• 通过限制信息交换的半径来提升局部性，使算法在大规模网络中更具可扩展性和实用性。

提出的方法

• 将分布式边染色问题约化为一种在线的、受限的球入桶问题，其中桶的负载 ℓ 决定了所用颜色数，表示为 Δ+2ℓ−1。
• 利用随机化策略实现 ℓ=1，从而在随机化算法中得到 Δ+2 种颜色。
• 采用确定性策略将 ℓ 限制在 O(log n/log log n)，从而得到 Δ+O(log n/log log n) 种颜色。
• 应用两阶段修复机制：首先对具有共同缺失颜色的未染色边的最大匹配进行染色，然后通过冲突图修复不完整顶点。
• 在 αβ-边和子反向 αβ 扇形上使用冲突图，以每组 O(1) 种颜色协调修复过程。
• 实施迭代修复循环，每轮染色恒定比例的未染色边，确保总共仅需 O(log n) 轮。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过随机化在 poly(Δ, log n) 轮内实现 Δ+2 边染色的分布式算法？
• RQ2 能否通过确定性方法在 poly(Δ, log n) 轮内实现 Δ+O(log n/log log n) 边染色的分布式算法？
• RQ3 是否可能在保持低时间复杂度的前提下，将分布式边染色中的颜色数量减少至 2Δ−1 以下？
• RQ4 能否通过球入桶抽象降低信息交换的半径，从而改善边染色的局部性？

主要发现

• 随机化算法通过在球入桶约化中确保桶负载 ℓ=1，在 poly(Δ, log n) 轮内实现了 Δ+2 种颜色。
• 确定性算法通过将桶负载限制在 ℓ=O(log n/log log n)，使用了 Δ+O(log n/log log n) 种颜色。
• 该算法每轮染色恒定比例的未染色边，仅需 O(log n) 轮即可完成。
• 总时间复杂度为：确定性变体 O(Δ⁴·λ·log³n)，随机化变体 O(Δ¹¹·log³n)。
• 该方法显著减少了所用颜色数量，趋近于 Vizing 的 Δ+1 上限，同时保持在 poly(Δ, log n) 时间复杂度范围内。
• 该方法适用于二分图，并可通过相同的底层抽象扩展至一般图。