[论文解读] Towards transverse toric geometry

Hiroaki Ishida|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文引入标记扇作为分类具有极大环面作用的紧复流形的组合不变量，类比于 торic 簇。它证明了此类流形的基本 Dolbeault 上同调在对角线外（p ≠ q）为零，且基本上同调由 (1,1)-形式生成，这与完备非奇异 toric 簇的性质相一致。

ABSTRACT

We study certain foliated complex manifolds that behave similarly to complete nonsingular toric varieties. We classify them by combinatorial objects that we call marked fans. We describe the basic cohomology algebras of them in terms of corresponding marked fans. We also study the basic Dolbeault cohomology algebras of them.

研究动机与目标

• 使用称为标记扇的组合对象对具有极大环面作用的紧复流形进行分类。
• 根据其关联的标记扇描述此类流形的基本上同调代数结构。
• 研究这些流形的基本 Dolbeault 上同调代数，确定其霍奇理论结构。
• 在上同调性质方面，建立这些叶状流形与完备非奇异 toric 簇之间的类比。

提出的方法

• 引入标记扇的概念，即配备其 1-锥生成元的有理扇，作为分类的组合不变量。
• 利用复流形 M 上的典范叶状结构 F，其由极大紧致环面 G 的李代数与复结构像 Jg 的交集导出。
• 将基本上同调 H^*_B(M) 定义为关于叶状结构 F 的基本微分形式复形的上同调。
• 从与可允许参数 b 关联的横截 Kähler 形式 ω_b 与 ω_{b+ε_ie_i} 的差值构造基本 (1,1)-形式 τ_i。
• 应用从等变上同调 H^*_{G_0}(M_0) 到基本上同调 H^*_B(M_0) 的遗忘映射，以关联上同调类。
• 通过 P_b 与 P_{b'} 的线性代数与多面体几何，证明 H^2_B(M_0) 由 (1,1)-形式生成，从而证明霍奇分解在对角线外为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合数据对具有极大环面作用的紧复流形进行分类？
• RQ2 此类流形的基本上同调代数的结构是什么？
• RQ3 基本 Dolbeault 上同调 H^{p,q}_B(M) 的行为如何，特别是在霍奇钻石中的关系？
• RQ4 这些流形在多大程度上与完备非奇异 toric 簇共享上同调性质？
• RQ5 基本上同调能否由 (1,1)-形式生成，这对其霍奇结构意味着什么？

主要发现

• 基本 Dolbeault 上同调满足 H^{p,q}_B(M) = 0（当 p ≠ q 时），且 H^{p,p}_B(M) = H^{2p}_B(M) ⊗ ℂ，表明具有对角霍奇结构。
• 基本上同调 H^2_B(M_0) 由基本 (1,1)-形式生成，这通过映射 L: ℝ^m → H^2_B(M_0) 的满射性得到证明，该映射由横截 Kähler 形式的差值定义。
• 映射 f: M_0 → M 诱导出基本上同调的同构 f^*: H^*_B(M) → H^*_B(M_0)，并保持霍奇结构。
• 对于可允许参数 b，共轭类 [ω_b] 在参数缩放下与 r[ω_{rb}] 成比例，确认了参数空间中的线性性。
• 映射 L 的核包含于商空间 V^*_0 的对偶空间的像中，其维数受 N−k 限制，从而推出 L 的满射性。
• 同构 f^* 保持霍奇结构，因此 M 的霍奇分解继承了与 M_0 相同的对角线消失性质。