[论文解读] Trace formulae for Schrödinger operators on lattice

Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了在 ℤᵈ 上具有复值、衰减势的薛定谔算符的迹公式，其势不一定属于迹类。通过结合自由解析延拓算符的估计与哈代空间分析，推导出特征值与奇异谱测度的显式界，以势为变量，将先前结果推广至 d ≥ 3 维的更广泛势类。

ABSTRACT

We consider Schrödinger operators with complex decaying potentials (in general, not from trace class) on the lattice. We determine trace formulae and estimate of eigenvalues and singular measure in terms of potentials. The proof is based on estimates of free resolvent and analysis of functions from Hardy space.

研究动机与目标

• 推导 ℤᵈ 上离散薛定谔算符 H = Δ + V 的迹公式，其中复势 V 不属于迹类。
• 将先前关于特征值与谱测度估计的结果推广至 ℓᵖ(ℤᵈ) 中满足 p < 6/5（当 d = 3 时）及 p < 4/3（当 d ≥ 4 时）的势类。
• 利用单位圆上的修正行列式 D(z) 在哈代空间 ℋ∞(𝔻) 中的性质，建立特征值分布与奇异谱测度的界。
• 通过共形映射 λ(z) = (d/2)(z + 1/z) 及关联的谱变量 z ∈ 𝔻 分析算符 H 的谱性质。
• 对特征值之和 (1 - |zⱼ|)、|Im λⱼ| 与 |Re 𝝳(λⱼ)| 提供关于势范数 ‖V‖ₚ 的定量估计。
• 推导涉及单位圆上谱测度 μ 的迹公式，将特征值的和与 ∫𝕋 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t) 的积分相联系。

提出的方法

• 定义修正行列式 D(z) = ℰ(λ(z))，其中 ℰ(λ) 为 (I + VR₀(λ))e⁻ᵛᴿ⁰⁽ˡ⁾ 的正则化行列式，确保其在单位圆盘 𝔻 内解析。
• 利用共形映射 λ(z) = (d/2)(z + 1/z) 将谱域 Λ = ℂ ∖ [−d, d] 映射至单位圆盘 𝔻，其中 z = 0 对应于 ∞。
• 应用哈代空间理论于函数 D(z)，证明其满足 ‖D‖ℋ∞(𝔻) ≤ exp(C*²‖V‖ₚ²/2)，其中 C* 依赖于 d 与 p。
• 将 D(z) 的对数导数表示为 𝔻ᵣ₀ 内的泰勒级数 ψ(z) = −∑ₖ≥₂ ψₖzᵏ，其中 ψ₂ = (a²/2)Tr V²，a = 2/d。
• 通过将谱测度 μ 在 𝕋 上与特征值关联，推导迹公式：∫𝕋 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t) = (d/2π)∑ⱼ (1/zⱼⁿ − z̄ⱼⁿ)，并将其与 Tr(Vⁿ) 及 ℛⁿ 关联。
• 利用 𝝳(λ) = √(λ² − d²) 的恒等式，将特征值与谱数据的实部与虚部分量表示为单位圆上的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 ℤᵈ 上不属迹类的复势的薛定谔算符建立迹公式？
• RQ2 V 在 ℓᵖ(ℤᵈ) 中的最优条件为何，可使修正行列式 D(z) 保持在哈代空间 ℋ∞(𝔻) 中并允许谱迹公式的成立？
• RQ3 算符 H = Δ + V 的特征值与奇异谱测度如何与单位圆上谱测度 μ 的傅里叶系数相关联？
• RQ4 关于势范数 ‖V‖ₚ，(1 - |zⱼ|)、|Im λⱼ| 与 |Re 𝝳(λⱼ)| 之和的定量界为何？
• RQ5 迹公式能否推广至包含 Tr(Vⁿ) 与 ∫𝕋 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t)（n ≥ 2）的高阶项？

主要发现

• 修正行列式 D(z) 在单位圆盘 𝔻 内解析，且满足哈代空间范数估计 ‖D‖ℋ∞(𝔻) ≤ exp(C*²‖V‖ₚ²/2)，其中 C* 依赖于 d 与 p。
• 算符 H = Δ + V 的特征值 {λⱼ} 满足 ∑ⱼ [(1 - |zⱼ|) + |Im λⱼ| + |Re 𝝳(λⱼ)|] < ∞，其中 zⱼ = (λⱼ − √(λⱼ² − d²))/d。
• 对数导数 ψ(z) = log D(z) 在 𝔻ᵣ₀ 内具有泰勒展开 ψ(z) = −∑ₖ≥₂ ψₖzᵏ，其中 ψ₂ = (a²/2)Tr V²，a = 2/d。
• 第一个迹公式为 ∑ⱼ (1/zⱼ − z̄Ɐ) = (d/2π)∫𝕋 e⁻ⁱᵗ dμ(t)，由此可得 ∑ⱼ (Re 𝝳(λⱼ) + i Im λⱯ) = (d/2π)∫𝕋 e⁻ⁱᵗ dμ(t)。
• 对于二阶项，有 ∑ⱼ (𝝳₁λ₁ − λ₂𝝳₂) = (1/2)Re Tr V² + (d²/4π)∫𝕋 cos(2t) dμ(t)，虚部亦有类似表达式。
• 在条件 Im V ≥ 0（或 Re V ≥ 0）下，估计式 ∑ⱼ |Im λⱼ| ≤ dC*²‖V‖ₚ² 与 ∑ⱼ |Re 𝝳(λⱯ)| ≤ dC*²‖V‖ₚ² 成立，从而对谱数据提供一致的有界性。