[论文解读] Traces of CM values and cycle integrals of polyharmonic Maass forms

Toshiki Matsusaka|arXiv (Cornell University)|May 5, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文构建了半整数权多调和弱Maass形式的基，并通过CM值的迹与周期积分，推导出其傅里叶系数的算术公式。该研究将Zagier关于CM值迹生成函数的工作推广至多调和Maass形式，通过Eisenstein级数的洛朗系数，统一了j-不变量和log|η(z)|⁴等模形式的已知结果，形成统一框架。

ABSTRACT

Lagarias and Rhoades generalized harmonic Maass forms by considering forms which are annihilated by a number of iterations of the action of the xi-operator. In our previous work, we considered polyharmonic weak Maass forms by allowing the exponential growth at cusps, and constructed a basis of the space of such forms. This paper focuses on the case of half-integral weight. We construct a basis as an analogue of our work, and give arithmetic formulas for the Fourier coefficients in terms of traces of CM values and cycle integrals of polyharmonic weak Maass forms. These results put the known results into a common framework.

研究动机与目标

• 将CM值迹与周期积分的理论推广至半整数权的多调和弱Maass形式。
• 构造此类形式空间的基，类似于以往对整数权的研究。
• 推导傅里叶系数的显式算术公式，以CM值的迹与周期积分表示。
• 通过Eisenstein级数的洛朗系数，将已知结果（如j-不变量和log|η(z)|⁴）统一于同一框架之下。

提出的方法

• 将半整数权的多调和弱Maass形式定义为上半平面上的光滑函数，满足Γ₀(4)作用下的不变性，经r次ξ算子作用后为零，且在尖点处具有多项式增长。
• 通过Eisenstein级数的全纯投影，提取多调和Maass形式的全纯部分。
• 计算Eisenstein级数G_D,m(z,s)在s=1或s=3/4处的洛朗系数，将其与全纯部分的傅里叶系数关联。
• 应用Poincaré级数的函数方程与谱分解，将系数表示为类数与L-函数的形式。
• 利用Kronecker符号与Dedekind η函数处理权1/2的情形，并相应定义斜算子。
• 借助实解析Eisenstein级数的已知展开式及其在s=1附近的性质，提取所需的洛朗系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 半整数权多调和Maass形式的CM值迹生成函数是否可为模形式，从而推广Zagier对调和Maass形式的结果？
• RQ2 半整数权多调和弱Maass形式的傅里叶系数能否以CM值与周期积分的迹来算术表示？
• RQ3 Eisenstein级数的洛朗系数在连接算术数据（类数、L-值）与半整数权模形式之间起何作用？
• RQ4 对于任意模不变函数f，生成函数∑ₙ Tr_d(f)q⁻ⁿ是否可实现为某类半整数权、深度3/2的多调和Maass形式的全纯部分？
• RQ5 当f(z) = −log(y|η(z)|⁴)时，f的迹Tr_d(f)在半整数权情形下如何与L-值和类数关联？

主要发现

• F_{1/2,0,0}(z)全纯部分的傅里叶系数为3/√d倍的迹Tr_d,1(1)，通过Kronecker-Hurwitz公式与类数直接关联。
• 对于非1的基本判别式D ≠ 1，若d非完全平方，则迹Tr_d,D(1)为零；若d为完全平方，则其值为√|dD|L_D(1)/π，明确建立了与L-函数的联系。
• 生成函数∑_{d<0} Tr_d(−log(y|η(z)|⁴))q⁻ᵈ被实现为权1/2、深度3/2的多调和Maass形式的全纯部分。
• 洛朗系数LC_{s=1}^{-1}[G_{D,0}(z,s)]^hol恒为零，意味着当D ≠ 1时，∑_{d<0} Tr_d,D(1)q⁻ᵈ = 0。
• 对于f(z) = −log(y|η(z)|⁴)，通过Eisenstein级数的全纯投影，证明了生成函数∑_{d<0} Tr_d(f)q⁻ᵈ为模形式。
• F_{1/2,0,0}(z)全纯部分中q⁻ᵈ的系数与Tr_d,D(−log(y|η(z)|⁴))成正比，比例系数为3/(√(dD)L_D(1))。