[论文解读] Tractable Lineages on Treelike Instances: Limits and Extensions

Antoine Amarilli, Pierre Bourhis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用 16

一句话总结

本文证明，除非多项式层次结构坍缩至亚指数时间并辅以亚指数建议，否则在树状实例上的可处理 lineage 是有限的。它证明，若一个图类具有无界的多对数树宽且对子图封闭，则此类实例上的 MSO 查询可在亚指数时间内借助对墙图的拓扑嵌入及多项式时间变换的约化实现亚指数建议下的评估。

ABSTRACT

Query evaluation on probabilistic databases is generally intractable (#P-hard). Existing dichotomy results have identified which queries are tractable (or safe), and connected them to tractable lineages. In our previous work, using different tools, we showed that query evaluation is linear-time on probabilistic databases for arbitrary monadic second-order queries, if we bound the treewidth of the instance. In this paper, we study limitations and extensions of this result. First, for probabilistic query evaluation, we show that MSO tractability cannot extend beyond bounded treewidth: there are even FO queries that are hard on any efficiently constructible unbounded-treewidth class of graphs. This dichotomy relies on recent polynomial bounds on the extraction of planar graphs as minors, and implies lower bounds in non-probabilistic settings, for query evaluation and match counting in subinstance-closed families. Second, we show how to explain our tractability result in terms of lineage: the lineage of MSO queries on bounded-treewidth instances can be represented as bounded-treewidth circuits, polynomial-size OBDDs, and linear-size d-DNNFs. By contrast, we can strengthen the previous dichotomy to lineages, and show that there are even UCQs with disequalities that have superpolynomial OBDDs on all unbounded-treewidth graph classes; we give a characterization of such queries. Last, we show how bounded-treewidth tractability explains the tractability of the inversion-free safe queries: we can rewrite their input instances to have bounded-treewidth.

研究动机与目标

• 确定树状实例上可处理 lineage 计算的理论极限。
• 解决先前工作中关于基于建议的亚指数时间评估 MSO 查询的错误证明。
• 确立在具有无界多对数树宽的图类上 MSO 查询可高效评估的条件。
• 形式化一个修正的证明，表明此类评估仅在 PH 包含于亚指数时间并辅以亚指数建议时才可能。
• 证明平面图对墙图的拓扑嵌入可通过建议实现高效查询评估。

提出的方法

• 使用修正后的 Theorem LABEL:thm:ganianvariant 的证明，修复了先前工作中建议依赖于输入而非输入长度的错误。
• 将 PH 问题通过多项式时间约化至度为 3 的平面图上的 MSO 查询。
• 应用命题 LABEL:prp:embed，以多项式时间将任意度为 3 的平面图嵌入大小为 O(n⁴) 的墙图中。
• 依赖引理 LABEL:lem:extract，从族 G 中高树宽的图中找到墙图为拓扑子式。
• 构建建议字符串，包含一棵高树宽图 Gₘ 及其到 Gₘ 的嵌入 (fₘ, gₘ)，其大小受 O(2^{m^ε}) 限制。
• 将约化结果与建议结合，将查询图嵌入 Gₘ，从而在 Gₘ 上通过亚指数时间算法实现评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，树状实例上的 MSO 查询可在亚指数时间并辅以亚指数建议下评估？
• RQ2 为何先前 Theorem LABEL:thm:ganianvariant 的证明是错误的，如何修复？
• RQ3 度为 3 的平面图能否被高效嵌入墙图中，这对查询评估有何影响？
• RQ4 树宽、拓扑子式与 lineage 计算复杂性之间有何关系？
• RQ5 亚指数建议的存在如何影响多项式层次结构？

主要发现

• Theorem LABEL:thm:ganianvariant 的证明得到修正，表明建议必须仅依赖于输入长度，而非输入内容。
• 对于多项式层次结构中的任意问题，若图类 G 具有无界多对数树宽且对子图封闭，则该问题可在时间 O(2^{m^ε}) 内以大小为 O(2^{m^ε}) 的建议解决，其中任意 ε > 0。
• 建议字符串的构建涉及选择图类 G 中一棵树宽至少为 m^{10·l·α} 且大小为 O(2^{m^{ε/8(d+2)}}) 的图 Gₘ，其嵌入至大小为 m^{5l} × m^{5l} 的墙图中。
• 在树宽为 1 的实例上，MSO 查询的 lineage 在公式表示中可能需要 Ω(|I|²) 的大小，如由奇偶函数下界所示。
• 带有不等式条件的 conjunctive 查询在 n 个输入上的 lineage 大小为 Ω(n log log n)，与电路复杂性中的已知下界一致。
• 在 Gₘ 中嵌入图上的 MSO 公式评估时间复杂度为 2^{O(log^{d+1} n)}，其中 d 是图类属性中的常数，从而实现亚指数时间评估。