[论文解读] Trading inverses for an irrep in the Solovay-Kitaev theorem

Adam Bouland, Māris Ozols|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Dec 28, 2017

Electronic and Structural Properties of Oxides参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的索洛维-基塔耶夫定理版本，将通用量子门集必须对逆运算封闭的要求，替换为门集包含任意有限群 G 的不可约表示的条件。通过利用群表示理论和不可约表示的正交性，作者实现了对数多项式时间的编译开销，为实现无需逆运算的完整索洛维-基塔耶夫定理在通用量子计算中的应用提供了部分进展。

ABSTRACT

The Solovay-Kitaev theorem states that universal quantum gate sets can be exchanged with low overhead. More specifically, any gate on a fixed number of qudits can be simulated with error $ε$ using merely $\mathrm{polylog}(1/ε)$ gates from any finite universal quantum gate set $\mathcal{G}$. One drawback to the theorem is that it requires the gate set $\mathcal{G}$ to be closed under inversion. Here we show that this restriction can be traded for the assumption that $\mathcal{G}$ contains an irreducible representation of any finite group $G$. This extends recent work of Sardharwalla et al. [arXiv:1602.07963], and applies also to gates from the special linear group. Our work can be seen as partial progress towards the long-standing open problem of proving an inverse-free Solovay-Kitaev theorem [arXiv:quant-ph/0505030, arXiv:0908.0512].

研究动机与目标

• 解决长期存在的开放问题：在不依赖门集对逆运算封闭的条件下，证明索洛维-基塔耶夫定理。
• 通过用表示论条件替代逆闭性要求，将索洛维-基塔耶夫定理的适用范围扩展到可能不包含逆运算的门集。
• 提供一种构造性算法，用于使用包含有限群不可约表示的有限通用门集来近似任意酉门。
• 通过减少对逆运算的依赖，改善量子线路编译的理论基础，因为逆运算在物理实现中通常不切实际。

提出的方法

• 将标准索洛维-基塔耶夫定理中对逆闭性的要求，替换为门集包含有限群 G 的不可约表示的假设。
• 利用不可约表示的正交性，实现门近似中的误差抵消，类似于原始定理中基于交换子的误差抑制机制。
• 采用函数 f(U)，通过对不可约表示中的群元素取平均，将与单位元 ε 接近的算符映射为与单位元 O(ε²) 接近的算符，从而实现迭代优化。
• 应用体积论证来界定初始 ε₀-网的大小，表明 ε₀ 的尺度为 1/d!，从而得出初始序列长度 ℓ₀ = Ω(d³ log d)。
• 对索洛维-基塔耶夫算法框架进行改造，使其适用于基于不可约表示平均的误差降低，而非基于群交换子。
• 将结果扩展至特殊线性群门，并讨论向具有完美李代数的其他李群推广的潜力。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不牺牲对数多项式编译开销的前提下，用表示论条件替代索洛维-基塔耶夫定理中的逆闭性要求？
• RQ2 能否通过使用不可约表示而非群交换子或逆运算，实现相同的门近似误差抑制？
• RQ3 在使用不可约表示时，编译过程中的 ε₀-网大小是否可以得到改善，特别是在高维系统中？
• RQ4 不可约表示平均过程中群元素的特定排序是否能导致更高阶的误差抵消（例如，从 ε² 提升至 ε³）？
• RQ5 能否将无逆的索洛维-基塔耶夫定理推广至具有完美李代数的任意连通李群，如同在逆闭情况下所做的那样？

主要发现

• 本文建立了一种新的索洛维-基塔耶夫定理版本，将逆闭性要求替换为门集中包含任意有限群 G 的不可约表示。
• 编译开销保持为 1/ε 的对数多项式，具体为 O(log³·⁹⁷(1/ε))，与原始定理的最佳已知界一致。
• 误差降低机制依赖于对不可约表示的平均，从而在不依赖逆运算的情况下实现 O(ε²) 的误差抑制。
• 初始 ε₀-网大小的尺度为 ε₀ = Θ(1/d!)，导致初始序列长度 ℓ₀ = Ω(d³ log d)，这比逆闭情况下的 ℓ₀ = Ω(d²) 更差。
• 对于 S₃ 的二维不可约表示，特定的群元素排序可导致 O(ε³) 的误差项，表明通过结构化平均可能进一步提升误差阶数。
• 该结果可扩展至特殊线性群门，并为将定理推广至更广泛的李群类别开辟了路径。