[论文解读] Transforming metrics on a line bundle to the Okounkov body

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入了切比雪夫变换，即与任意连续度量在大全纯线丛上关联的Okounkov体上的凸函数。证明了两个度量之间的度量体积差等于其切比雪夫变换之差在Okounkov体上的积分，推广了经典结果，并确立了在大度量R-除子锥上度量体积泛函的可微性。

ABSTRACT

Let $L$ be a big holomorphic line bundle on a complex projective manifold $X.$ We show how to associate a convex function on the Okounkov body of $L$ to any continuous metric $ψ$ on $L.$ We will call this the Chebyshev transform of $ψ,$ denoted by $c[ψ].$ Our main theorem states that the difference of metric volume of $L$ with respect to two metrics, a notion introduced by Berman-Boucksom, is equal to the integral over the Okounkov body of the difference of the Chebyshev transforms of the metrics. When the metrics have positive curvature the metric volume coincides with the Monge-Ampère energy, which is a well-known functional in Kähler-Einstein geometry and Arakelov geometry. We show that this can be seen as a generalization of classical results on Chebyshev constants and the Legendre transform of invariant metrics on toric manifolds. As an application we prove the differentiability of the metric volume in the cone of big metrized $\mathbb{R}$-divisors. This generalizes the result of Boucksom-Favre-Jonsson on the differentiability of the ordinary volume of big $\mathbb{R}$-divisors and the result of Berman-Boucksom on the differentiability of the metric volume when the underlying line bundle is fixed.

研究动机与目标

• 为任意连续度量在大全纯线丛上定义一个与Okounkov体关联的典范凸函数。
• 建立一个精确的积分公式，将度量体积的差异与Okounkov体上切比雪夫变换差异的积分联系起来。
• 推广关于环面流形上切比雪夫常数和勒让德变换的经典结果。
• 证明在大度量R-除子锥上度量体积泛函的可微性，扩展了Boucksom-Favre-Jonsson与Berman-Boucksom的先前结果。

提出的方法

• 定义切比雪夫变换 $ c[\psi] $ 为与大线丛 $ L $ 上连续度量 $ \psi $ 关联的Okounkov体上的凸函数。
• 主要结果将度量体积的差异表达为积分形式：$ \mathrm{vol}(L,\psi_1,\varphi) - \mathrm{vol}(L,\psi_2,\varphi) = n! \int_{\Delta(L)} (c[\psi_1] - c[\psi_2]) \, d\lambda $。
• 证明依赖于在形变下Okounkov体的结构，特别是当 $ A $ 为非常 ample 线丛时的关系式 $ \Delta(L + tA) = \bigcup_{r=0}^t \Delta(L + tA)_r \cup (\Delta(L) + t e_1) $。
• 通过将微积分基本定理应用于切比雪夫变换，并利用Monge-Ampère能量的上链条件，确立了度量体积的可微性。
• 利用Okounkov体零纤维上切比雪夫变换的连续性与可微性，确保导数存在且连续变化。
• 论证中使用分部积分法与Monge-Ampère测度，以控制度量形变下能量泛函的变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为大全纯线丛上的连续度量在对应的Okounkov体上自然地关联一个凸函数？
• RQ2 度量线丛的度量体积与Okounkov体上切比雪夫变换积分之间的确切关系是什么？
• RQ3 当基线丛在大度量R-除子锥中变化时，度量体积泛函是否仍保持可微？
• RQ4 切比雪夫变换如何推广环面几何中经典的切比雪夫常数与勒让德变换？
• RQ5 能否通过Okounkov体上的凸几何与积分变换确立度量体积可微性的结果？

主要发现

• 两个连续度量 $ \psi_1 $ 与 $ \psi_2 $ 在大线丛 $ L $ 上的度量体积差等于 $ n! $ 乘以它们的切比雪夫变换之差在 $ L $ 的Okounkov体上的积分。
• 切比雪夫变换 $ c[\psi] $ 是Okounkov体上的凸函数，其在全局Okounkov体零纤维上的连续延拓对证明至关重要。
• 当度量具有正曲率时，度量体积与Monge-Ampère能量一致，将结果与Kähler-Einstein几何及Arakelov几何联系起来。
• 度量体积泛函在大度量 $ \mathbb{R} $-除子锥上是可微的，推广了Boucksom-Favre-Jonsson与Berman-Boucksom的结果。
• 在形变 $ L + tA $ 下，度量体积的导数由Okounkov体零纤维上的积分与一个涉及Monge-Ampère能量的项组成，二者均连续变化。
• 函数 $ f(t) = \mathrm{vol}(L + tA, \psi + t\Psi, \varphi + t\Phi) $ 在 $ t = 0 $ 的邻域内是 $ \mathcal{C}^1 $，通过右可微性与连续性论证建立。