[论文解读] Transitivity conditions in infinite graphs

Matthias Hamann, Julian Pott|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文分类了具有多个端点的距离传递及k-CS-传递的无限图，证明了距离传递性等价于2-距离传递性，且此类图同构于广义Xκ,λ图。此外，本文将k≥3时的k-CS-传递图分类为完全图与齐次块的特定组合，并确立了局部有限k-CS-传递图的端点传递性，解决了Gray提出的一个开放问题。

ABSTRACT

We study transitivity properties of graphs with more than one end. We completely classify the distance-transitive such graphs and, for all $k \geq 3$, the $k$-CS-transitive such graphs.

研究动机与目标

• 对所有具有多个端点的距离传递无限图进行分类，将Macpherson与Möller关于局部有限图的结果推广至非局部有限图。
• 对具有多个端点的k-CS-传递图（k≥3）进行表征，推广已知的局部有限图结果。
• 解决Gray关于局部有限k-CS-传递图是否具有端点传递性的问题。
• 分析k-CS-传递图中端点的结构，区分局部端点与全局端点及其自同构群的作用。

提出的方法

• 使用结构树与最小割系统分析具有多个端点的无限图的分解。
• 通过在二分树的顶点上用有限图H1与H2的副本替换，并在相邻块之间添加边，构造广义图Zκ,λ(H1,H2)。
• 应用开S-块与S-分离器的概念，分析局部图结构与自同构扩张性质。
• 利用已知的有限齐次图与超齐次图分类（Gardiner, Ronse）以限制k-CS-传递图中可能的块类型。
• 采用度量端点与有限直径分离器下的等价关系，分析非局部有限图中的端点传递性。
• 通过块类型（完全图、空图或齐次图）与由k-CS-传递性导出的基数约束进行分类讨论证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有多个端点的无限图是距离传递的，它们如何推广Xκ,λ图？
• RQ2 对于k≥3，具有多个端点的k-CS-传递图的完整结构类是什么？
• RQ3 每个局部有限的k-CS-传递图（k≥3）是否都是端点传递的，这一结论能否推广至非局部有限图？
• RQ4 k-CS-传递图的自同构群如何作用于其端点，局部端点与全局端点有何区别？
• RQ5 k-CS-传递性条件对图组合中使用的有限块结构施加了何种约束？

主要发现

• 一个具有多个端点的连通无限图是距离传递的，当且仅当它同构于某个基数κ,λ≥2的Xκ,λ图。
• 对于k≥3，一个具有多个端点的连通图是k-CS-传递的，当且仅当它同构于以下几种指定组合之一：Xκ,λ(K¹)，X₂,λ(Kⁿ)（其中n≤k/2），Xκ,2(K̄ᵐ)（其中m≤k/2），或Zκ,λ(H₁,H₂)，且H₁与H₂满足特定约束。
• 任何具有多个端点的k-CS-传递图（k≥3）的自同构群在度量端点上传递作用，且端点要么是局部的，要么是全局的。
• 每个局部有限的k-CS-传递图（k≥3）都是端点传递的，证实了Gray的猜想。
• 在k-CS-传递图中，自同构群在端点集合上至多有两个轨道：一个对应于局部端点，一个对应于全局端点。
• 对于满足|H₁|=1且H₂既非完全图也非完全图的补图的Z₂,₂(H₁,H₂)图，H₂必须属于类𝒪ₖ,ₘ,ₙ，其中m≤k−2且n≤k/2+1。