[论文解读] Translation Groupoids and Orbifold Bredon Cohomology

Dorette Pronk, Laura Scull|arXiv (Cornell University)|May 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文建立了可表示的轨道空间的双范畴与良好映射，与轨道空间平移群胚的双范畴及广义等变映射之间的等价性，使得等变同伦论的结果可被转移到轨道空间上。本文提出一个框架，通过莫里塔等价与双范畴的分式构造，解决群胚表示中的非唯一性问题，从而定义轨道空间版本的等变上同调理论——特别是K-理论与布雷东上同调。

ABSTRACT

We show that the bicategory of (representable) orbifolds and good maps is equivalent to the bicategory of orbifold translation groupoids and generalized equivariant maps. We use this result to define an orbifold version of Bredon cohomology.

研究动机与目标

• 通过莫里塔等价刻画可表示轨道空间群胚表示的非唯一性，以解决该问题。
• 证明任意两个可表示轨道空间之间的映射均可表示为对应平移群胚之间的等变映射，从而保证等变不变量的函子性。
• 通过平移群胚与轨道空间之间的等价性，将等变不变量导入，以定义轨道空间的上同调理论——特别是K-理论与布雷东上同调。
• 证明当系数图在莫里塔等价下不变时，布雷东上同调在轨道空间上给出与群胚表示选择无关的良定义不变量。
• 证明具有良好映射的可表示轨道空间双范畴，与具有广义等变映射的平移群胚双范畴之间存在等价关系，该等价关系通过双范畴的分式构造实现。

提出的方法

• 使用平移群胚来建模可表示轨道空间，其中群作用通过有限群在流形上的作用群胚编码。
• 将平移群胚之间的广义等变映射定义为通过本质等价因子化的态射，以确保与轨道空间结构的相容性。
• 通过将本质等价类 $W$ 的逆，构造双范畴的分式 $\mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{eqvar}}(W^{-1})$，使本质等价成为内部等价。
• 证明Lie群胚之间的本质等价满足2取3性质，从而保证双范畴分式构造的合理性。
• 证明任意两个平移群胚之间的本质等价均可表示为两类基本类型的复合：(1) 沿正常子群的商映射；(2) 沿正则子流形的拉回。
• 利用双范畴等价 $\mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{eqvar}}(W^{-1}) \simeq \mathsf{RepOrbifolds}_{\mathsf{atlas}}(W^{-1})$，将等变不变量系统地转移到轨道空间设定中。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意两个可表示轨道空间之间的映射是否都能表示为对应平移群胚之间的等变映射？
• RQ2 哪些等变上同调理论——如K-理论与布雷东上同调——能下降为与群胚表示选择无关的轨道空间上的良定义不变量？
• RQ3 如何系统地描述并控制轨道空间群胚表示的非唯一性，以确保上同调不变量的不变性？
• RQ4 具有良好映射的轨道空间双范畴与具有广义等变映射的平移群胚双范畴之间的确切关系是什么？
• RQ5 在何种系数图条件下，布雷东上同调能成为轨道空间而非仅等变空间的不变理论？

主要发现

• 具有良好映射的可表示轨道空间双范畴，与具有广义等变映射的平移群胚双范畴之间，通过双范畴分式构造实现等价。
• 所有Lie群胚之间的本质等价均可分解为两类标准类型的复合：(1) 沿正则子流形的拉回；(2) 沿正规子群的商映射。
• 本质等价类满足2取3性质，确保双范畴分式构造行为良好且对复合封闭。
• 通过 $G$-等变向量丛定义的拓扑K-理论可下降为良定义的轨道空间上同调理论，提供一种独立于其他方法的直接构造。
• 当系数图在莫里塔等价下不变时，布雷东上同调可给出良定义的轨道空间不变量，从而将等变上同调理论扩展至轨道空间范畴。
• 两个双范畴之间的等价关系使得从等变同伦论中获得的结果可系统地转移到轨道空间研究中，尤其适用于通过群作用定义的上同调理论。