[论文解读] Translation symmetry restoration under random unitary dynamics

Katja Klobas, Colin Rylands+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2024

Fractal and DNA sequence analysisBiochemistry, Genetics and Molecular Biology被引用 3

一句话总结

本文将对称性恢复的可观测量无关表征方法从内部对称性（例如 U(1)）扩展到时空对称性，特别是平移对称性，在通用量子多体系统中进行研究。通过随机酉电路，表明平移对称性恢复仅在与子系统尺寸线性相关的时标上发生，对于大子系统，其初始态无关的恢复时间与子系统大小成线性关系，并在中等尺寸下表现出量子 Mpemba 效应，即初始对称性破缺越严重，恢复速度越快。

ABSTRACT

The finite parts of a large, locally interacting many-body system prepared out-of-equilibrium eventually equilibrate. Characterising the underlying mechanisms of this process and its timescales, however, is particularly hard as it requires to decouple universal features from observable-specific ones. Recently, new insight came by studying how certain symmetries of the dynamics that are broken by the initial state are restored at the level of the reduced state of a given subsystem. This provides a high level, observable-independent probe. Until now this idea has been applied to the restoration of internal symmetries, e.g. U(1) symmetries related to charge conservation. Here we show that that the same logic can be applied to the restoration of space-time symmetries, and hence can be used to characterise the relaxation of fully generic systems. We illustrate this idea by considering the paradigmatic example of "generic" many-body dynamics, i.e. a local random unitary circuit, where our method leads to exact results. We show that the restoration of translation symmetry in these systems only happens on time-scales proportional to the subsystem's volume. In fact, for large enough subsystems the time of symmetry restoration becomes initial-state independent (as long as the latter breaks the symmetry at time zero) and coincides with the thermalisation time. For intermediate subsystems, however, one can observe the so-called "quantum Mpemba effect", where the state of the system restores a symmetry faster if it is initially more asymmetric. We provide the first exact characterisation of this effect in a non-integrable system.

研究动机与目标

• 将对称性恢复的可观测量无关框架从内部对称性（例如 U(1)）扩展至时空对称性，如平移不变性。
• 表征在随机酉动力学下，通用局域相互作用量子系统中平移对称性的恢复方式。
• 探究在空间对称性恢复背景下，量子 Mpemba 效应——即初始对称性破缺更严重的系统恢复更快——是否会出现。
• 确定对称性恢复时间对子系统尺寸和初始态不对称性的依赖关系，特别是在随机酉电路中。

提出的方法

• 定义子系统约化密度矩阵与其在平移群上的对称化版本之间的距离度量，以量化对称性破缺程度。
• 使用演化态与其平移副本之间差值的弗罗贝尼乌斯范数，追踪对称性恢复的动力学过程。
• 将该形式化方法应用于具有局域哈尓随机酉矩阵的随机酉电路，这些电路虽无内部对称性，但保持平均平移不变性。
• 构建显式破缺平移对称性的初始态，例如具有周期 ν 的自旋螺旋态，以探究初始不对称性的影响。
• 利用涉及移位密度矩阵的迹表达式，计算对称性破缺距离的时间演化，借助自旋螺旋态假设中的旋转对称性。
• 分析恢复时间随子系统尺寸 ℓ 和局部希尔伯特空间维数 q 的标度行为，展示在适当重标度下曲线的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可观测量无关的对称性恢复框架是否适用于通用量子系统中的空间对称性，如平移不变性？
• RQ2 在随机酉电路中，平移对称性恢复的时间尺度是多少？它如何依赖于子系统尺寸？
• RQ3 在空间对称性破缺的背景下，能否观察到量子 Mpemba 效应——即初始对称性破缺更严重的系统恢复更快？
• RQ4 局部希尔伯特空间维数 q 如何影响平移对称性恢复的动力学？
• RQ5 对于大子系统，对称性恢复时间是否与初始态无关？它是否与热化时间一致？

主要发现

• 对于大子系统，实现 ε-近似平移对称性恢复所需时间与子系统尺寸 ℓ 呈线性关系，并且只要初始态破缺对称性，该时间即与初始态无关。
• 大子系统的对称性恢复时间与热化时间一致，表明初始态记忆仅在热化时间尺度上被擦除。
• 对于中等子系统，观察到量子 Mpemba 效应：初始态对平移对称性破缺越严重，对称性恢复越快。
• 当通过 ν/(ν−1) 重标度后，对称性恢复动力学曲线可统一为一条普适曲线，表明初始对称性破缺程度（ν）仅对效应进行缩放，而不改变其物理行为。
• 随着局部希尔伯特空间维数 q 增大，对称性恢复行为趋近于 t=ℓ/2 处的海维赛德阶跃函数，表明在大 q 极限下恢复过程更快且更尖锐。
• 对称性破缺距离的最大值为 (ν−1)/ν，当 t=0 时所有移位态均与原态正交时达到，证实初始态结构在决定恢复动力学中的关键作用。