[论文解读] Transverse Surgery on Knots in Contact 3-Manifolds

James Conway|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文確立了橫截手術作為研究接触3-流形的更自然框架，而非典型Legendrian手術，證明當手術係數超過 genus $g$ 的開書的 $2g-1$ 時，非可接受的橫截手術會保持緊緻性，並確立了此類手術產生過度扭曲結構的條件。本文透過橫截結重新詮釋Legendrian手術結果，並提出一種修改開書的演算法，以描述手術後的結果，應用於Heegaard Floer不變量與緊緻性準則。

ABSTRACT

We study the effect of surgery on transverse knots in contact 3-manifolds. In particular, we investigate the effect of such surgery on open books, the Heegaard Floer contact invariant, and tightness. The overarching theme of this paper is to show that in many contexts, surgery on transverse knots is more natural than surgery on Legendrian knots. Besides reinterpreting surgery on Legendrian knots in terms of transverse knots, our main results on are in two complementary directions: conditions under which inadmissible transverse surgery ( extit{cf.\@} positive contact surgery on Legendrian knots) preserves tightness, and conditions under which it creates overtwistedness. In the first direction, we give the first result on the tightness of inadmissible transverse surgery for contact manifolds with vanishing Heegaard Floer contact invariant. In particular, inadmissible transverse surgery on the connected binding of a genus $g$ open book that supports a tight contact structure preserves tightness if the surgery coefficient is greater than $2g-1$. In the second direction, along with more general statements, we deduce a partial generalisation to a result of Lisca and Stipsicz: when $L$ is a Legendrian knot with $tb(L) \leq -2$, and $|rot(L)| \geq 2g(L)+tb(L)$, then contact $(+1)$-surgery on $L$ is overtwisted.

研究动机与目标

• 將Legendrian結上的接觸手術重新表述為橫截手術，證明其在許多情境下更自然。
• 確立在Heegaard Floer接觸不變量為零的接觸3-流形中，非可接受橫截手術保持緊緻性的條件。
• 確立非可接受橫截手術產生過度扭曲接觸結構的條件。
• 發展一種演算法，用以修改開書以描述對綁定元件進行橫截手術後的結果。
• 將橫截手術與Heegaard Floer不變量及有理開書聯繫起來，特別是在相對於頁面斜率的手術係數背景下。

提出的方法

• 透過手術類型與旁路層符號之間的對應關係，將Legendrian結上的接觸手術轉化為橫截手術。
• 使用開書分解來模擬橫截手術對綁定元件的影響，特別是當手術係數大於頁面斜率時。
• 應用Giroux對應關係將開書與接觸結構聯繫起來，並追蹤手術下的變化。
• 利用單行變換與手術環面中的框架變更，計算手術下Legendrian結的像，以矩陣變換表示。
• 運用Heegaard Floer接觸不變量以及 $\overline{tb}$, $\overline{sl}$, 和 $\tau$ 等不變量，以檢測緊緻性或過度扭曲性。
• 分析手術對偶結的有理塞伯格曲面與歐拉特徵，以確定鬆弛性與過度扭曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Heegaard Floer接觸不變量為零的接觸3-流形中，非可接受橫截手術在何種條件下會保持緊緻性？
• RQ2 對 genus $g$ 開書的綁定元件進行橫截手術，如何影響所得的接觸結構？
• RQ3 非可接受橫截手術在何種情況下會產生過度扭曲接觸結構，特別是針對 $tb(L) \leq -2$ 的Legendrian結？
• RQ4 能否自然地重新表達並重新證明Legendrian結正接觸手術的結果於橫截設定中？
• RQ5 手術對偶結與Legendrian結在正向手術後的像之間有何關係？

主要发现

• 對於 genus $g$ 開書的連通綁定元件，若手術係數大於 $2g-1$，則非可接受橫截手術會保持緊緻性。
• 對於任意 genus $g$ 和 $n \geq 2$，存在一負整數 $t$，使得若 $tb(L) \leq t$，則對 $L$ 進行接觸 $(+n)$-手術會產生過度扭曲結構。
• 對 Legendrian 結 $L$ 進行接觸 $(+1)$-手術，若 $tb(L) \leq -2$ 且 $|rot(L)| \geq 2g(L) + tb(L)$，則結果為過度扭曲接觸結構。
• 對於每個 $t \geq 1$，存在一無限多個同調平凡的Legendrian結，其 $\overline{tb} = -t$，使得對每個結進行接觸 $(+t)$-手術後，結果為緊緻且Heegaard Floer接觸不變量非零。
• Legendrian 結 $L$ 在接觸 $(+n)$-手術下的像是手術對偶結 $K^*$ 的 $(-n,1)$-纏繞，其框架由手術環面黏合的矩陣變換決定。
• 手術對偶結 $L^*$ 的有理塞伯格曲面由 $n/m$ 個 $K^*$ 的有理塞伯格曲面與 $|t|/m$ 個經線圓盤組成，其歐拉特徵為 $\chi(L^*) = \frac{n(1-2g) + nt - t}{m}$。