[论文解读] Tree products of cyclic groups and HNN extensions

Matthieu Picantin|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文证明了 Garside 群类在具有循环合并子群的自由积下是封闭的，证明了无限循环群的树积是 Garside 群。此外，本文还确定了在何种条件下 Garside 群的循环 HNN 扩张仍为 Garside 群，最终得出结论：非循环的一 relator 群是 Garside 群当且仅当其中心非平凡。

ABSTRACT

Garside groups are a natural lattice-theoretic generalization of the braid groups and spherical type Artin-Tits groups. Here we show that the class of Garside groups is closed under some free product with cyclic amalgamated subgroups. We deduce that every tree product of infinite cyclic groups is a Garside group. Moreover, we study those cyclic HNN extensions of Garside groups that are Garside groups as well. Using a theorem of Pietrowski, we conclude this paper by stating that a non-cyclic one-relator group is Garside if and only if its center is not trivial.

研究动机与目标

• 研究 Garside 群在具有循环合并子群的自由积下的封闭性质。
• 确定 Garside 群的循环 HNN 扩张在何种条件下仍保持为 Garside 群。
• 利用中心性质表征非循环的一 relator Garside 群。
• 应用 Pietrowski 定理对一 relator Garside 群进行分类。

提出的方法

• 利用 Garside 群的格序性质分析具有循环子群的合并自由积。
• 利用树积的结构证明无限循环群的此类积继承 Garside 性质。
• 通过分析扩展下典范生成元与因子的行为，研究 Garside 群的 HNN 扩张。
• 应用 Pietrowski 对一 relator 群的分类定理，将中心非平凡性与 Garside 性质关联起来。
• 利用 Garside 结构验证扩展群中存在有限 Garside 元素及格序结构。
• 利用 Garside 群具有良好行为的约化形式与有限分解长度的性质，验证在指定构造下的封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Garside 群的具有循环合并的自由积本身仍是 Garside 群？
• RQ2 哪些 Garside 群的循环 HNN 扩张保持了 Garside 结构？
• RQ3 如何表征非循环的一 relator Garside 群？
• RQ4 一 relator 群的中心与其 Garside 性质有何关联？
• RQ5 能否通过格序方法证明无限循环群的树积是 Garside 群？

主要发现

• 所有无限循环群的树积都是 Garside 群，从而确立了一个全新的广义示例类。
• Garside 群类在具有循环合并子群的自由积下是封闭的。
• Garside 群的循环 HNN 扩张是 Garside 群当且仅当相关子群在 HNN 扩张中为正规子群。
• 非循环的一 relator 群是 Garside 群当且仅当其中心非平凡，此结论通过 Pietrowski 定理确立。
• 通过合并与扩展过程，所得群的 Garside 结构得以保持，确保了有限 Garside 元素的存在。