[论文解读] Triply-graded link homology and Hochschild homology of Soergel bimodules

Mikhail Khovanov|ArXiv.org|Oct 12, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文通过 Soergel bimodules 的 Hochschild 同调重新诠释了三重分次链同调，取代了矩阵因子化和 Koszul 复形。它建立了与 Kazhdan-Lusztig 理论的联系，并计算出 (2,n)-环面扭结的同调秩为 $n$，验证了 [GSV] 和 [DGR] 的预测。

ABSTRACT

We trade matrix factorizations and Koszul complexes for Hochschild homology of Soergel bimodules to modify the construction of triply-graded link homology and relate it to Kazhdan-Lusztig theory.

研究动机与目标

• 使用 Soergel bimodules 的 Hochschild 同调而非矩阵因子化或 Koszul 复形，重新表述三重分次链同调。
• 通过李代数表示理论，建立该同调理论与 Kazhdan-Lusztig 理论之间的联系。
• 计算与 (2,n)-环面扭结相关的 bimodules 的 Hochschild 同调，并验证其秩与 [GSV] 和 [DGR] 的预测一致。
• 证明 Hochschild 同调为三重分次链不变量提供了计算上可行且概念上自然的框架。
• 阐明 [KR2] 的链同调与范畴 $\mathcal{O}$ 及旗流形上 perverse sheaves 之间的关系，回应 Vybornov 的猜想。

提出的方法

• 使用多项式代数 $R = \mathbb{Q}[x_1, \dots, x_m]$ 的 Koszul 分解，通过由 $2^m$ 个 bimodule $M$ 构成的复形计算 Hochschild 同调，微分由 $y_i \otimes 1 - 1 \otimes y_i$ 构成。
• 将 Hochschild 同调 $\mathrm{HH}(R,M)$ 定义为复形 $C(M)$ 的同调，其中 $C_j(M)$ 是 $\binom{m}{j}$ 个 $M$ 的直和，微分为 $d(m \otimes \lfloor I \rfloor) = \sum_{i \in I} \pm (y_i m - m y_i) \otimes \lfloor I \setminus \{i\} \rfloor$。
• 将 Soergel bimodules $B_i' = R' \otimes_{R_i'} R'$ 表示为关于 $R'$ 的分次 $R'$-bimodule，作为 $R'$ 上的自由模，秩为 2，带有度数平移 $\{2\}$，并利用其张量积来建模链不变量。
• 为一个辫子 $\sigma$ 构造一个 Soergel bimodule 的复形 $F(\sigma)$，计算其 Hochschild 同调，并将三重分次同调 $\overline{H}(\sigma)$ 提取为所得复形的总同调。
• 使用图解演算：用一条有向线表示 $R$，用方框表示 bimodule $M$，用闭合回路表示 $\mathrm{HH}(M)$，以可视化张量积和 Hochschild 同调。
• 利用 $R$ 的 Koszul 分解的自对偶性，将 Hochschild 同调与上同调等同，从而在计算中获得灵活性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 Soergel bimodules 的 Hochschild 同调而非矩阵因子化来重构三重分次链同调？
• RQ2 该 Hochschild 同调构造如何与 Kazhdan-Lusztig 理论及李代数表示理论相关联？
• RQ3 $(2,n)$-环面扭结的 $\mathrm{HHH}(\sigma)$ 的显式计算结果是什么？其秩是否与预测的 $n$ 一致？
• RQ4 所提出的 $\overline{H}$ 与 [GSV] 和 [DGR] 中猜想的 HOMFLYPT 同调之间是否存在自然同构？
• RQ5 能否利用 $S_3$ 的 Soergel bimodules 直和的自同态代数来计算 $m=2$ 以外的链同调？

主要发现

• 对于 $(2,n)$-环面扭结，三重分次同调 $\overline{H}(L)$ 的秩为 $n$，与 [GSV] 和 [DGR] 的预测一致。
• 计算 $\mathrm{HHH}(\sigma)$ 的复形对于 $\sigma = \sigma_1^n$ 可分解为两个子复形：一个用于 $\mathrm{HH}_0$，一个用于 $\mathrm{HH}_1$，每个具有不同的微分。
• $\mathrm{HH}_0$ 复形在双次数 $(2n-2k, 2k-1)$（$k=1,3,\dots,n$）处具有非平凡上同调，系数为 $\mathbb{Q}$。
• $\mathrm{HH}_1$ 复形在双次数 $(2n-2k, 2k+1)$（$k=1,3,\dots,n-1$）处具有非平凡上同调，系数也为 $\mathbb{Q}$。
• 总同调 $\overline{H}(L)$ 同构于 [GSV] 和 [DGR] 中猜想的 HOMFLYPT 同调，暗示其与 $\mathcal{O}(-1) \oplus \mathcal{O}(-1)$ 上 $\mathbb{P}^1$ 的 Gromov-Witten 理论存在深层联系。
• $R$ 的 Koszul 分解的自对偶性意味着 $\mathrm{HH}_i(R,M) \cong \mathrm{HH}^{m-i}(R,M)$，从而在计算中可自由交换同调与上同调。