[论文解读] Tropical complete intersection curves

Magnus Dehli Vigeland|ArXiv.org|Nov 13, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文推导出在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中由 $n$ 个光滑热带超曲面横截相交形成的热带完备交曲线的顶点数和亏格的公式。通过牛顿多面体的混合剖分与闵可夫斯基和分解，推导出与经典复代数情形一致的亏格公式：$2g - 2 = d_1\cdots d_n(d_1 + \cdots + d_n - n - 2)$，该公式在曲线光滑且连通时成立。

ABSTRACT

A tropical complete intersection curve C in R^(n+1) is a transversal intersection of n smooth tropical hypersurfaces. We give a formula for the number of vertices of C given by the degrees of the tropical hypersurfaces. We also compute the genus of C (defined as the number of independent cycles of C) when C is smooth and connected.

研究动机与目标

• 推导在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中由 $n$ 个光滑热带超曲面形成的热带完备交曲线的顶点数公式。
• 利用组合与多面体技术，计算当该曲线光滑且连通时的亏格。
• 通过亏格公式，建立热带完备交曲线与其经典代数对应物之间的对应关系。
• 研究在 $\mathbb{R}^3$ 中由两个热带二次曲面形成的热带椭圆曲线（亏格 1）可能具有的最大内部顶点数。

提出的方法

• 使用热带半环 $\mathbb{R}_{tr} = (\mathbb{R}, \max, +)$ 定义热带多项式及其对应的超曲面。
• 应用提升构造将牛顿多面体提升为提升多面体 $\tilde{\Delta}_f$，其顶面生成正规剖分 $\operatorname{Subdiv}(f)$。
• 利用牛顿多面体 $\Delta_f = \Delta_{f_1} + \cdots + \Delta_{f_n}$ 的闵可夫斯基和分解，描述交线的混合剖分。
• 将热带曲线 $\mathcal{C}$ 的顶点识别为混合剖分中全维混合单元的对偶点。
• 应用单元的特权闵可夫斯基表示法，通过体积计算来计数顶点与无界边。
• 利用热带曲线与其对偶混合剖分之间的对偶性，通过欧拉示性数及顶点/边数计算亏格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中，由 $n$ 个度数为 $d_1, \dots, d_n$ 的光滑热带超曲面形成的热带完备交曲线的顶点数是多少？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中，光滑且连通的热带完备交曲线的亏格是多少？
• RQ3 热带完备交曲线的亏格与其中文代数对应物的亏格相比如何？
• RQ4 在 $\mathbb{R}^3$ 中，热带椭圆曲线（亏格 1）最多可有多少个内部顶点？
• RQ5 能否从牛顿多面体的混合剖分出发，组合地推导出热带完备交的亏格公式？

主要发现

• 由 $n$ 个度数为 $d_1, \dots, d_n$ 的光滑热带超曲面在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中形成的热带完备交曲线 $\mathcal{C}$ 的顶点数为 $v = d_1 \cdots d_n (d_1 + \cdots + d_n)$。
• 当 $\mathcal{C}$ 光滑时，其无界边数为 $x = (n+2) d_1 \cdots d_n$。
• 光滑且连通的热带完备交曲线的亏格 $g$ 满足 $2g - 2 = d_1 \cdots d_n (d_1 + \cdots + d_n - n - 2)$。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中（即两个热带二次曲面的交线），热带椭圆曲线的亏格为 1，且最多可有 16 个内部顶点。
• 存在具有任意数量 $m$ 个内部顶点（从 3 到 16）的热带椭圆曲线，该结论已通过计算机搜索验证。
• 热带完备交的亏格公式与 $\mathbb{P}^{n+1}_{\mathbb{C}}$ 中光滑完备交的经典公式一致。