[论文解读] Truncated Nonsmooth Newton Multigrid for phase-field brittle-fracture problems.

Carsten Gräser, Daniel Kienle+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出截断非光滑牛顿多重网格（TNNMG）方法，以高效求解相场脆性断裂问题的空间离散化问题。通过利用变分结构，并直接处理损伤不可逆性约束而不使用罚函数或历史场，TNNMG 实现了约一次线性求解的时间内收敛，相比运算分离方法速度提升一个数量级以上，同时保持了鲁棒性。

ABSTRACT

We propose the Truncated Nonsmooth Newton Multigrid Method (TNNMG) as a solver for the spatial problems of the small-strain brittle-fracture phase-field equations. TNNMG is a nonsmooth multigrid method that can solve biconvex, block-separably nonsmooth minimization problems in roughly the time of solving one linear system of equations. It exploits the variational structure inherent in the problem, and handles the pointwise irreversibility constraint on the damage variable directly, without penalization or the introduction of a local history field. Memory consumption is significantly lower compared to approaches based on direct solvers. In the paper we introduce the method and show how it can be applied to several established models of phase-field brittle fracture. We then prove convergence of the solver to a solution of the nonsmooth Euler-Lagrange equations of the spatial problem for any load and initial iterate. Numerical comparisons to an operator-splitting algorithm show a speed increase of more than one order of magnitude, without loss of robustness.

研究动机与目标

• 开发一种快速、鲁棒且内存高效的求解器，用于小应变相场脆性断裂模型中的空间问题。
• 在不使用罚函数或辅助历史场的情况下，直接强制实现损伤变量的逐点不可逆性约束。
• 与现有方法相比降低计算成本，特别是针对基于运算分离的迭代求解器。
• 在各种载荷条件和初始猜测下保持鲁棒性。
• 证明求解器对任意载荷和初始猜测均能收敛至非光滑欧拉-拉格朗日方程的解。

提出的方法

• TNNMG 方法是一种专为双凸、块可分非光滑最小化问题设计的非光滑多重网格求解器。
• 它利用相场断裂能泛函的变分结构，构建稳定且高效的求解过程。
• 该方法在优化框架内直接处理损伤变量的逐点不可逆性约束，避免正则化或引入辅助场。
• 它在最粗网格上使用截断牛顿步长，并通过多重网格循环在不同尺度间高效传播校正。
• 算法采用非单调线搜索，以确保在非光滑情况下的收敛性。
• 该方法被应用于已建立的相场脆性断裂模型，包括 Ambrosio-Tortorelli 模型和 Miehe 等人模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种非光滑多重网格方法，以高效求解空间相场断裂问题，同时保持损伤的物理不可逆性？
• RQ2 与标准的运算分离算法相比，TNNMG 方法在速度和鲁棒性方面表现如何？
• RQ3 TNNMG 在不同载荷和初始猜测下的收敛行为如何？
• RQ4 该方法能否在不增加内存消耗或牺牲鲁棒性的前提下实现显著的速度提升？
• RQ5 与基于罚函数的方法相比，直接强制实现不可逆性是否能提高数值稳定性或精度？

主要发现

• TNNMG 对任意载荷和初始猜测均能收敛至非光滑欧拉-拉格朗日方程的解，证明了全局收敛性。
• 该方法将求解时间降低至仅相当于求解一个线性系统的成本，显著优于传统迭代求解器。
• 数值对比显示，与运算分离算法相比，速度提升超过一个数量级。
• 该方法在各种载荷条件和初始猜测下均保持鲁棒性。
• 由于采用基于迭代的多重网格方法，内存消耗显著低于直接求解器。
• 直接处理不可逆性约束避免了对罚函数或历史场的需求，简化了公式化过程并提升了物理一致性。