[论文解读] Truncations of level 1 of elements in the loop group of a reductive group

Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文引入并分类了局部域上半单代数群的循环群中一种新的不变量——1级截断（truncation of level 1），该不变量在由极大紧致超特殊子群作用的 $K$-共轭下保持不变。关键贡献在于建立了 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 中 $K$-σ-共轭类与满足 $w \in {}^\mu W$ 的对 $(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}}$ 之间的双射，从而构建了一个群论框架，将之与典型性群的 Ekedahl-Oort 分层联系起来，并为 Ekedahl-Oort 分层中牛顿多边形提供了必要条件。

ABSTRACT

We generalize the notion of Ekedahl-Oort strata to elements in the loop group of any connected reductive group, and call the resulting discrete invariant the truncation of level 1 of the element. We give conditions for the Newton points occurring among the elements of a given truncation of level 1 and especially for the generic Newton point in a given truncation stratum. We prove that truncation strata are locally closed and give a description of the closure of each stratum. We also translate our results back to the original Ekedahl-Oort stratification of the reduction modulo p of Shimura varieties.

研究动机与目标

• 为半单群的循环群中元素定义并研究一种新的不变量——1级截断，该不变量在由极大紧致超特殊子群作用的 $K$-σ-共轭下保持不变。
• 通过与满足 $w \in {}^\mu W$ 的对 $(w,\mu)$ 的双射对1级截断进行分类，其中 $\mu$ 为极大权。
• 描述截断在特殊化下的行为，并确定给定截断层中 $\sigma$-共轭类的群论条件。
• 将截断不变量与 Siegel 模空间的 Ekedahl-Oort 分层以及在 $p$ 处具有良好减少性的其他 PEL 典型性群的推广联系起来。

提出的方法

• 将1级截断定义为 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 中元素的 $K$-σ-共轭类，使用形如 $K_1 w \tau_\mu K_1$ 的代表元，其中 $w \in {}^\mu W$ 且 $\tau_\mu = x_\mu \epsilon^\mu$。
• 建立 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 中 $K$-σ-共轭类集合与集合 $\mathcal{T} = \{(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}} \mid w \in {}^\mu W\}$ 之间的双射，证明定理 1.1。
• 利用仿射 Weyl 群 $\widetilde{W} = N_T(L)/T(\mathcal{O})$ 及抛物子群 $P_\mu = M_\mu B$ 的结构，分析双陪集及其 $\sigma$-共轭行为。
• 证明 $Iw\tau_\mu I$ 中的每个元素都与 $K_1 w\tau_\mu K_1$ 中的某个元素 $I$-σ-共轭，从而将 Iwahori 双陪集结构与 $K$-双陪集结构联系起来。
• 通过 $p$-除子群的 Dieudonné 模描述，将截断不变量与 Ekedahl-Oort 分层联系起来，表明截断类型对应于 Frobenius 自同态的 $K$-σ-共轭类。
• 将该理论应用于证明：在 Ekedahl-Oort 分层 $S_w$ 中，一般牛顿多边形是 $\overline{S_w}$ 中短元素的牛顿多边形中最大的，利用循环群中的闭包关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 中，$K$-σ-共轭类的结构是怎样的？如何对它们进行分类？
• RQ2 1级截断在特殊化下如何表现？决定给定截断层中 $\sigma$-共轭类的群论条件是什么？
• RQ3 截断不变量如何与 Siegel 模空间及其它 PEL 典型性群的 Ekedahl-Oort 分层相关联？
• RQ4 在给定的 Ekedahl-Oort 分层中，截断类型与牛顿多边形之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过截断不变量与循环群中的闭包关系来刻画 Ekedahl-Oort 分层中的一般牛顿多边形？

主要发现

• 在 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 中的 $K$-σ-共轭类集合与集合 $\mathcal{T} = \{(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}} \mid w \in {}^\mu W\}$ 之间存在双射，从而实现了对1级截断的完整分类。
• $Iw\tau_\mu I$ 中的每个元素都与 $K_1 w\tau_\mu K_1$ 中的某个元素 $I$-σ-共轭，从而将 Iwahori 双陪集结构与 $K$-双陪集结构联系起来。
• 1级截断在 $K$-σ-共轭下保持不变，并且是对 Kottwitz 所研究的 $\sigma$-共轭类不变量的细化。
• 对于 Siegel 模空间 $\mathcal{A}_g$，在 Ekedahl-Oort 分层 $S_w$ 中，一般牛顿多边形是 $\overline{S_w}$ 中短元素的牛顿多边形中最大的，如推论 7.3 所示。
• $G = GSp_{2g}$ 时，循环群 $LG$ 中的闭包关系与 Ekedahl-Oort 分层一致，且截断层 $S_{w,\mu}$ 包含其同构类中的最小 $p$-除子群，当且仅当 $S_{w_0,\mu} \subseteq \overline{S_{w,\mu}}$。
• 该理论表明，在每个同构类中存在一个代表元，其 $K$-双陪集对应于 $\mu$，且该代表元为短元素，尽管对于非分裂 $G$，这样的代表元未必唯一。