[论文解读] Turaev-Viro invariants, colored Jones polynomials and volume

Renaud Detcherry, Effstratia Kalfagianni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文建立了一种公式，将 $S^3$ 中链路补全的图拉耶夫-维罗不变量与它们的着色琼斯多项式模平方值联系起来，首次严格验证了图解八字符号和博罗梅奥环链的陈-杨体积猜想。该研究表明，图拉耶夫-维罗不变量在大 $r$ 时的渐近行为可确定双曲体积，并揭示了现有猜想未预测的新渐近行为。

ABSTRACT

We obtain a formula for the Turaev-Viro invariants of a link complement in terms of values of the colored Jones polynomial of the link. As an application we give the first examples for which the volume conjecture of Chen and the third named author\,\cite{Chen-Yang} is verified. Namely, we show that the asymptotics of the Turaev-Viro invariants of the Figure-eight knot and the Borromean rings complement determine the corresponding hyperbolic volumes. Our calculations also exhibit new phenomena of asymptotic behavior of values of the colored Jones polynomials that seem not to be predicted by neither the Kashaev-Murakami-Murakami volume conjecture and various of its generalizations nor by Zagier's quantum modularity conjecture. We conjecture that the asymptotics of the Turaev-Viro invariants of any link complement determine the simplicial volume of the link, and verify it for all knots with zero simplicial volume. Finally we observe that our simplicial volume conjecture is stable under connect sum and split unions of links.

研究动机与目标

• 建立图拉耶夫-维罗不变量与链路补全的着色琼斯多项式值之间精确公式的任务。
• 对特定双曲 3-流形（包括图解八字符号和博罗梅奥环链补全）的陈-杨体积猜想进行验证。
• 研究着色琼斯多项式中不遵循已知量子模形式或体积猜想的新渐近行为。
• 提出并检验一个猜想：图拉耶夫-维罗不变量在大-$r$ 时的渐近行为可确定链路补全的单纯形体积。
• 检查单纯形体积猜想与拓扑运算（如连通和与分离并集）的相容性。

提出的方法

• 推导出公式，将 $TV_r(S^3 \setminus L, q)$ 表示为关于多指标 $\mathbf{i}$ 的 $|J_{L,\mathbf{i}}(t)|^2$ 的加权和，其中系数为 $\eta_r^2$ 或 $2^{n-1} (\eta_r')^2$，具体取决于 $r$。
• 利用图拉耶夫-维罗不变量与 $SO(3)$ 罗谢蒂欣-图拉耶夫 TQFT 之间的关系，将本内代蒂和佩特罗尼奥的结果推广至奇 $r$ 和 $2r$-次单位根。
• 应用布兰谢、哈贝格尔、马斯鲍姆和沃贝尔关于 $SO(3)$ TQFT 的性质，将态和不变量与链路补全的量子不变量联系起来。
• 采用归一化惯例 $t = A^4$，$q = A^2$，其中 $A$ 为 $4r$-次或 $2r$-次单位根，以确保态和公式的一致性。
• 分析当 $r \to \infty$ 时不变量的渐近行为，将增长率与双曲体积和单纯形体积等几何不变量联系起来。
• 对单纯形体积为零的纽结验证该猜想，并通过拓扑不变性检验其在连通和与分离并集下的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 链路补全的图拉耶夫-维罗不变量能否用着色琼斯多项式表示？
• RQ2 图拉耶夫-维罗不变量在大-$r$ 时的渐近行为是否能恢复链路补全的双曲体积？
• RQ3 着色琼斯多项式中是否存在不被卡什艾夫-村上-村上或扎吉尔猜想解释的新渐近行为？
• RQ4 图拉耶夫-维罗不变量的渐近行为能否确定 3-流形的单纯形体积？
• RQ5 单纯形体积猜想是否与链路的连通和与分离并集等拓扑运算相容？

主要发现

• 本文提供了闭式公式：当 $r$ 为偶数时，$TV_r(S^3 \setminus L, q) = \eta_r^2 \sum_{1 \leq \mathbf{i} \leq r-1} |J_{L,\mathbf{i}}(t)|^2$；当 $r$ 为奇数时，$2^{n-1} (\eta_r')^2 \sum_{1 \leq \mathbf{i} \leq (r-1)/2} |J_{L,\mathbf{i}}(t)|^2$。
• 对图解八字符号和博罗梅奥环链补全，陈-杨体积猜想得到严格验证，表明其大-$r$ 图拉耶夫-维罗不变量渐近恢复了双曲体积。
• 观察到着色琼斯多项式中存在不与卡什艾夫-村上-村上体积猜想或扎吉尔的量子模形式猜想一致的新渐近行为。
• 提出单纯形体积猜想：图拉耶夫-维罗不变量在大-$r$ 时的渐近行为可确定链路补全的单纯形体积，并已对所有单纯形体积为零的纽结验证该猜想。
• 该猜想与连通和及分离并集兼容，因为不变量在这些运算下表现出一致的变换行为。
• 对于所有 $r \geq 3$，不变量 $TV_r(S^3 \setminus L, q)$ 严格为正，这由下界 $H_r = \eta_r^2$ 或 $2^{n-1} (\eta_r')^2 > 0$ 得证。