[论文解读] Turing-equivalent automata using a fixed-size quantum memory

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了两种新颖的量子计算模型——弱公开量子交互证明系统（qAM）与量子交替图灵机（qATM），仅使用常数大小的量子内存即实现图灵等价性。通过利用固定大小的量子寄存器，这两种模型均能以常数空间识别任意图灵可识别语言，超越经典有界空间模型，表明量子相干性可在计算能力上实现指数级的空间节省。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new public quantum interactive proof system and the first quantum alternating Turing machine: qAM proof system and qATM, respectively. Both are obtained from their classical counterparts (Arthur-Merlin proof system and alternating Turing machine, respectively,) by augmenting them with a fixed-size quantum register. We focus on space-bounded computation, and obtain the following surprising results: Both of them with constant-space are Turing-equivalent. More specifically, we show that for any Turing-recognizable language, there exists a constant-space weak-qAM system, (the nonmembers do not need to be rejected with high probability), and we show that any Turing-recognizable language can be recognized by a constant-space qATM even with one-way input head. For strong proof systems, where the nonmembers must be rejected with high probability, we show that the known space-bounded classical private protocols can also be simulated by our public qAM system with the same space bound. Besides, we introduce a strong version of qATM: The qATM that must halt in every computation path. Then, we show that strong qATMs (similar to private ATMs) can simulate deterministic space with exponentially less space. This leads to shifting the deterministic space hierarchy exactly by one-level. The method behind the main results is a new public protocol cleverly using its fixed-size quantum register. Interestingly, the quantum part of this public protocol cannot be simulated by any space-bounded classical protocol in some cases.

研究动机与目标

• 将经典交互证明系统与交替图灵机扩展为固定大小的量子寄存器，以实现新的计算能力。
• 探究有界空间的量子模型是否能以常数量子内存实现图灵完备性。
• 证明固定寄存器中的量子相干性可实现超越经典有界空间模型的通用计算。
• 建立经典交替与公开验证、完美完备性的量子类比。
• 表明量子模型可将确定性空间层次结构整体上移一级，类似于私有经典模型。

提出的方法

• 将经典亚瑟-梅林证明系统与交替图灵机扩展为固定大小的量子寄存器，构建公开qAM与qATM模型。
• 采用一种新颖的公开量子协议，利用量子叠加与干涉，在常数量子内存下模拟无界计算。
• 使用密度矩阵与矩阵演化建模非停止的量子态，实现对有界空间量子机器停止行为的分析。
• 应用概率放大技术降低弱qAM系统中的错误界限，确保对非成员的高精度拒绝。
• 引入强qATM变体，强制所有计算路径均停止，实现对确定性空间的模拟并实现指数级空间节省。
• 通过将混合态表示为向量、转移算子表示为矩阵，将Watrous的时间有界结果扩展至混合态量子图灵机。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有常数大小量子内存的公开量子交互证明系统能否识别任意图灵可识别语言？
• RQ2 具有常数量子内存的量子交替图灵机能否模拟任意递归可枚举语言？
• RQ3 在经典有界空间模型中添加固定大小的量子寄存器是否会导致计算能力的严格提升？
• RQ4 即使经典模型无法实现，固定寄存器中的量子相干性能否模拟无界计算？
• RQ5 强qATM模型是否如经典私有交替模型一般，恰好将确定性空间层次结构提升一级？

主要发现

• 常数空间的弱qAM系统可完美完备地识别任意图灵可识别语言，且对非成员具有高保真度。
• 任何EXPTIME中的语言均可被对数空间qAM系统识别，其能力与经典对数空间IP系统相当。
• 具有常数量子内存的一般qATM可识别任意递归可枚举语言，超越经典有限自动机与私有ATM。
• 强qATM模型强制所有路径停止，恰好将确定性空间层次结构提升一级，与私有经典交替模型一致。
• 在某些情况下，该量子协议无法被任何有界空间经典协议模拟，证明了真正的量子优势。
• 绝对停止的有界空间量子图灵机最多可运行 $ N^2 $ 步，其中 $ N $ 为标准配置数，将Watrous的界限推广至混合态模型。