[论文解读] TVS-cone metric spaces as a special case of metric spaces

Ivan D. Aranđelović, Dragoljub J. Kečkić|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文证明了TVS-锥度量空间通过一族相互等价的实值度量，与标准度量空间等价，从而表明将不动点结果推广至TVS-锥空间并非真正的推广，而是对已有度量空间结果的重新表述。其核心贡献在于证明TVS-锥度量空间的范畴是标准度量空间的真子范畴，使得此类大多数推广在逻辑上是冗余的。

ABSTRACT

There have been a number of generalizations of fixed point results to the so called TVS-cone metric spaces, based on a distance function that takes values in some cone with nonempty interior (solid cone) in some topological vector space. In this paper we prove that the TVS-cone metric space can be equipped with a family of mutually equivalent (usual) metrics such that the convergence (resp. property of being Cauchy sequence, contractivity condition) in TVS sense is equivalent to convergence (resp. property of being Cauchy sequence, contractivity condition) in all of these metrics. As a consequence, we prove that if a topological vector space $E$ and a solid cone $P$ are given, then the category of TVS-cone metric spaces is a proper subcategory of metric spaces with a family of mutually equivalent metrics (Corollary 3.9). Hence, generalization of a result from metric spaces to TVS-cone metric spaces is meaningless. This, also, leads to a formal deriving of fixed point results from metric spaces to TVS-cone metric spaces and makes some earlier results vague. We also give a new common fixed point result in (usual) metric spaces context, and show that it can be reformulated to TVS-cone metric spaces context very easy, despite of the fact that formal (syntactic) generalization is impossible. Apart of main results, we prove that the existence of a solid cone ensures that the initial topology is Hausdorff, as well as it admits a plenty of convex open sets. In fact such topology is stronger then some norm topology.

研究动机与目标

• 通过一族相互等价的实值度量，证明TVS-锥度量空间与标准度量空间等价。
• 证明TVS-锥度量空间中的收敛性、柯西序列以及压缩性条件与标准度量空间中的相应条件等价。
• 证明从标准度量空间推广不动点定理至TVS-锥度量空间并非有意义的推广，因为这些结果已包含于现有结果之中。
• 证明在拓扑线性空间中存在正规锥可保证诱导出豪斯多夫拓扑，并且包含大量凸开邻域。
• 提供一个形式化的语法算法，用于自动将不动点结果从标准度量空间推广至TVS-锥度量空间，尽管此类推广在逻辑上是冗余的。

提出的方法

• 利用杜（Du）提出的标量化函数，作者在底层拓扑线性空间 E 上构造了一族实值范数，每个范数均由固定于正规锥内部的元素所关联的标量化函数诱导。
• 证明这些诱导范数彼此等价，且任意此类范数中的收敛性等价于TVS-锥度量拓扑中的收敛性。
• 本文证明TVS-锥度量空间中的柯西序列恰好对应于诱导实值度量中的柯西序列。
• 证明TVS-锥设定下的连续函数与一致连续函数，分别等价于诱导度量空间中的连续函数与一致连续函数。
• 作者定义了一类函数 Ψ₂，并证明其诱导的实值函数 φ_k 属于 Φ₂，从而使得已知的标准度量空间不动点定理可被应用。
• 提出一个形式化的语法算法，通过标量化与范数等价性，自动将不动点结果从标准度量空间推广至TVS-锥度量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 将不动点结果从标准度量空间推广至TVS-锥度量空间在逻辑上是否具有意义，还是仅仅是已有结果的重新表述？
• RQ2 TVS-锥度量空间中的收敛性与柯西序列性质是否能被一族等价的实值度量完全刻画？
• RQ3 在拓扑线性空间中存在正规锥是否意味着更强的拓扑性质，如豪斯多夫性以及零点处凸开邻域的丰富性？
• RQ4 能否通过形式化变换，系统地从标准度量空间的对应结果推导出TVS-锥度量空间中的不动点定理？
• RQ5 在标量化与范数构造下，TVS-锥度量空间中的压缩性条件是否与标准度量空间中的条件等价？

主要发现

• TVS-锥度量空间通过一族相互等价的实值度量与标准度量空间等价，使得TVS-锥度量空间的范畴成为标准度量空间的真子范畴。
• TVS-锥度量空间中的收敛性与柯西序列性质等价于诱导实值度量中的相应性质，意味着未引入新的拓扑结构。
• 在拓扑线性空间中存在正规锥可保证初始拓扑为豪斯多夫空间，并且包含大量零点处的凸开邻域。
• 标量化函数在拓扑线性空间 E 上诱导出一个范数，且所有此类范数彼此等价，从而保持收敛性与柯西性行为不变。
• TVS-锥度量空间中的压缩性条件（如涉及 Ψ₂ 中函数的条件）通过诱导的实值函数 φ_k ∈ Φ₂，与标准度量空间中的条件完全对应。
• 提供了一个形式化的语法算法，可自动将不动点结果从标准度量空间推广至TVS-锥度量空间，表明此类推广不仅冗余，而且可机械推导。