[论文解读] Twisted automorphisms of group algebras

Alexei Davydov|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文对阶与6互素的有限群G的群代数k[G]的扭曲自同构进行分类，表明扭曲自同构的规范类群同构于外自同构群Out(G)与反对称扭曲的阿贝尔群的半直积。该结构与普遍包络代数类似，其中反对称扭曲构成一个子群，同构于群特征标群的外幂的不变元素。

ABSTRACT

We continue the study of twisted automorphisms of Hopf algebras started in "Twisted automorphisms of Hopf algebras". In this paper we concentrate on the group algebra case. We describe the group of twisted automorphisms of the group algebra of a group of order coprime to 6. The description turns out to be very similar to the one for the universal enveloping algebra given in "Twisted automorphisms of Hopf algebras".

研究动机与目标

• 使用类似于文献[4]中普遍包络代数的表述方式，描述群代数k[G]的扭曲自同构的群结构。
• 通过限制到反对称扭曲，解决将扭曲自同构分解为自同构与扭曲时的非唯一性问题。
• 证明当群的阶与6互素时，不变扭曲群可分解为反对称与对称扭曲的直积。
• 表明反对称扭曲群在一种与李代数情形密切相关的乘积下构成阿贝尔群。
• 显式构造不变反对称扭曲的例子，并通过中心幂等元与特征标和验证其换位子关系。

提出的方法

• 使用Movshev对k[G]上伽罗瓦代数的分类方法，通过配对(S, α)表示，其中S为子群，α为非退化的2-上循环。
• 将扭曲自同构表征为双代数自同构与不变扭曲的复合，其规范等价类构成群Aut_Tw(k[G])。
• 通过在正规子群A ⊂ G上的双乘法形式b: A × A → k^× 定义反对称扭曲，满足b(x,y) = b(y,x)^{-1}且在共轭下不变。
• 在k[Ĝ]中构造中心幂等元p_χ = |C|^{-1} ∑_{χ∈Ĉ} χ(x)^{-1}(0,0,χ)，以表示到不可约表示的投影。
• 利用恒等式u(χψ) = c(χ,χ,ψ)c(χ,ψ,ψ)u(χ)u(ψ)求解u ∈ k[B]，使得[F₁,F₂] = (u⊗u)Δ(u)^{-1}，并确保u在G作用下不变。
• 利用假设3 ∤ |G|，求解u(χ)^3 = c(χ,χ,χ)，从而保证在k[G]的中心中存在G-不变解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当G的阶与6互素时，如何结构化k[G]的扭曲自同构群？
• RQ2 为何不变扭曲的反对称与对称分量分解是非唯一的？如何使其唯一化？
• RQ3 反对称扭曲在形成同构于特征标群外幂不变部分的群结构中起什么作用？
• RQ4 不变反对称扭曲的换位子与保持类的自同构有何关系？
• RQ5 能否为非交换群（如海森堡群或亚阿贝尔群）显式构造此类扭曲？

主要发现

• 对于阶与6互素的有限群G，k[G]的扭曲自同构的规范类群同构于Out(G) ⋉ Aut_Tw^anti(k[G])。
• 反对称扭曲群Aut_Tw^anti(k[G])在一种类似于普遍包络代数情形的乘积下构成阿贝尔群。
• 所有不变扭曲群Aut_Tw^1(k[G])可分解为直积：Out_cl(G) × Aut_Tw^anti(k[G])，其中Out_cl(G)为保持类的外自同构群。
• 商群Aut_Tw(k[G])/Out(G)自然同构于k[G]上具有平凡Drinfeld不变量的三角形结构集合，且该集合在反对称扭曲乘积下构成群。
• 对于海森堡群H(E,b)，反对称扭曲F_x显式给出为F_x = ∑_{i,j} x^i p_{-j} ⊗ x^j p_i，其换位子满足[F_x, F_y] = (u⊗u)Δ(u)^{-1}，其中u = ∑_k η^{-kb(x,y)} p_k。
• 在亚阿贝尔构造M(C,c) ⋊ Q中，具有不变形式b₁, b₂的两个反对称扭曲F₁, F₂满足换位子[F₁,F₂] = (u⊗u)Δ(u)^{-1}，其中u = ∑_{x,y} c(x,x,y)c(x,y,y) p_x ⊗ p_y，表明非平凡的保持类自同构可由此类扭曲产生。