[论文解读] Twisted compactifications of 3d N = 4 theories and conformal blocks

Davide Gaiotto|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文提出，在黎曼曲面上对3D $σ=4$ 理论进行扭 compactification 时，其超对称基态空间微分同构于非幺正顶点算子代数（VOA）的共形块。该文猜想，这些VOA（由UV的拉格朗日描述或其镜像构造）编码了IR对称性——如增强的全局对称性——从而为$T[SU(N)]$理论的基态提供共形场论（CFT）描述，该理论作为几何朗兰兹对偶性的核心内核。

ABSTRACT

Three-dimensional N = 4 supersymmetric quantum field theories admit two topological twists, the Rozansky-Witten twist and its mirror. Either twist can be used to define a supersymmetric compactification on a Riemann surface and a corre- sponding space of supersymmetric ground states. These spaces of ground states can play an interesting role in the Geometric Langlands program. We propose a description of these spaces as conformal blocks for certain non-unitary Vertex Operator Algebras and test our conjecture in some important examples. The two VOAs can be constructed respectively from a UV Lagrangian description of the N = 4 theory or of its mirror. We further conjecture that the VOAs associated to an N = 4 SQFT inherit properties of the theory which only emerge in the IR, such as enhanced global symmetries. Thus knowledge of the VOAs should allow one to compute the spaces of supersymmetric ground states for a theory coupled to supersymmetric background connections for the full symmetry group of the IR SCFT. In particular, we propose a conformal field theory description of the spaces of ground states for the T[SU(N)] theories. These theories play a role of S-duality kernel in maximally supersymmetric SU(N) gauge theory and thus the corresponding spaces of supersymmetric ground states should provide a kernel for the Geometric Langlands duality for special unitary groups.

研究动机与目标

• 为在UV拉格朗日量中不可见的隐藏IR对称性存在的情况下，仍保持有效的3D $σ=4$ SQFT扭compactification中超对称基态的表征提供方法。
• 猜想这些基态空间微分同构于由UV拉格朗日数据或其镜像构造的非幺正VOA的共形块。
• 在关键例子中检验该猜想，特别是已知存在IR对称性增强的酉群线性奎因规范理论。
• 在几何朗兰兹对偶的背景下，建立VOA、共形块与Chan-Paton丛之间的物理与数学桥梁。
• 推动使用导出代数几何以更精细地处理非幺正VOA中的共形块，特别是针对BAA与BBB branes。

提出的方法

• 使用两种拓扑扭变——H-扭变（Rozansky-Witten）与C-扭变（镜像）——将3D $σ=4$ SQFT在黎曼曲面上compactification，得到1D ${σ}=4$ 量子力学。
• 将超对称基态空间 ${\cal H}_H[T,C]$ 识别为顶点算子代数 ${\mathbb{A}}_H[T]$ 的共形块，该VOA被猜想为非幺正。
• 从3D理论的UV拉格朗日描述或其镜像构造VOA，其对称性与SCFT的IR全局对称性一致。
• 使用具有全纯作用量 $\langle Z, \bar{\partial}_E Z \rangle$ 的路径积分形式，定义 $\operatorname{Bun}(G,C)$ 上的D-模与共形块，并赋予上同调解释。
• 通过导出范畴对共形块进行形式化处理，将其建模为带有 $\hbar$-变形微分的微分形式复形，以确保Ward恒等式。
• 应用缝合构造与模式展开（如 $Z^{(i)}_{-n-1/2}$）将无限维路径积分约化为在极点处的有限维高斯积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将3D $σ=4$ SQFT在黎曼曲面上compactification的超对称基态空间描述为非幺正顶点算子代数的共形块？
• RQ2 与3D $σ=4$ 理论相关的VOA是否编码了UV拉格朗日量中不可见的IR增强全局对称性？
• RQ3 当零模式数量改变时，辛玻色子的共形块如何变换？其上同调结构为何？
• RQ4 几何朗兰兹中BAA与BBB branes的Chan-Paton丛能否在物理上实现为3D $σ=4$ 理论产生的VOA的共形块？
• RQ5 在该背景下，导出代数几何在定义非幺正VOA的共形块中起何作用？

主要发现

• 3D $σ=4$ SQFT的H-扭变下，其超对称基态空间 ${\cal H}_H[T,C]$ 被猜想微分同构于非幺正顶点算子代数 ${\mathbb{A}}_H[T]$ 的共形块空间。
• 对于 $T[SU(N)]$ 理论，所提出的VOA描述为 $SU(N)$ 群的几何朗兰兹对偶提供了共形场论内核。
• 从UV拉格朗日量或其镜像构造的VOA被猜想继承IR全局对称性，如 $T[SU(N)]$ 中增强的 $SU(N)$ 雷夫勒对称性。
• 具有玻色子零模式的有限维玩具模型表明，路径积分测度必须替换为上同调非平凡形式，从而在度数 $-1$ 处产生非平凡上同调。
• 对辛玻色子的共形块建模为带有 $\hbar$-变形微分的微分形式复形，以确保Ward恒等式与形式闭包。
• 完整的共形块结构可约化为在极点处对零模式的高斯积分，暗示D-模结构可被简化为有限维描述。