[论文解读] Vertex Algebras at the Corner

Davide Gaiotto, Miroslav Rapčák|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用 17

一句话总结

本文引入了一类新的顶点算子代数 $Y_{L,M,N}[ heta]$，其来源于 $N=4$ 超杨–米尔斯理论中超对称界面的汇合点，该代数在 $L$、$M$、$N$ 的置换下表现出 $S_3$ 三重对称性，并在耦合常数 $\theta = -\epsilon_2/\epsilon_1$ 的对偶变换下保持不变。该构造基于 WZW 代数与自由系统的 BRST 约化，所得到的代数推广了 $W_N$ 代数，并实现了源自 S 对偶性的新颖对偶关系，其退化模由超群权标记，并在三重对称性下被置换。

ABSTRACT

We introduce a class of Vertex Operator Algebras which arise at junctions of supersymmetric interfaces in ${\cal N}=4$ Super Yang Mills gauge theory. These vertex algebras satisfy non-trivial duality relations inherited from S-duality of the four-dimensional gauge theory. The gauge theory construction equips the vertex algebras with collections of modules labelled by supersymmetric interface line defects. We discuss in detail the simplest class of algebras $Y_{L,M,N}$, which generalizes $W_N$ algebras. We uncover tantalizing relations between $Y_{L,M,N}$, the topological vertex and the $W_{1+\infty}$ algebra.

研究动机与目标

• 定义一类新的顶点算子代数 $Y_{L,M,N}[\theta]$，其出现在 $\nN=4$ 超杨–米尔斯理论中超对称界面交汇的角落处。
• 建立这些代数满足非平凡对偶关系，包括源自规范理论 S 对偶性的 $S_3$ 三重对称性。
• 构造以超群 $U(L|M)$、$U(M|N)$、$U(N|L)$ 表示为标签的这些 VOAs 的模，这些模在三重对称性下被置换。
• 通过规范理论实现，将 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 代数与拓扑顶点及 $W_{1+\infty}$ 代数联系起来。
• 通过超群 WZW 模型与自由系统的 BRST 约化，推广标准 $W_N$ 代数，其中耦合参数 $\theta$ 编码对偶性。

提出的方法

• 通过超群 WZW 代数 $U(N|L)_{\theta} \times U(M|L)_{1-\theta}$ 及额外的 $bc$ 与 $\beta\gamma$ 幽灵系统进行 BRST 约化，构造 $Y_{L,M,N}[\theta]$。
• 引入额外的 $bc$ 与 $\beta\gamma$ 幽灵系统以完成 BRST 复形，确保所得代数为良定义的 VOAbra。
• 利用三个 $U(L)$、$U(M)$、$U(N)$ 规范群在汇合点处相遇的 GL 扭曲 $\nN=4$ SYM 规范理论框架，为构造提供动机。
• 通过参数 $\theta$ 对 3d $\nN=4$ 超共形代数进行形变，该参数在不同边界条件之间插值并实现 GL 扭曲。
• 利用 4d 规范理论的 S 对偶性，推测 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 在 $\theta \to 1-\theta$ 与 $\theta \to \theta^{-1}$ 下不变，并对应标签的置换。
• 通过三个参数 $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ 满足 $\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 = 0$ 及 $\theta = -\epsilon_2/\epsilon_1$ 定义三重对称性，使得 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 在此作用下协变变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从 $\nN=4$ SYM 中超对称界面的汇合点构造顶点算子代数？
• RQ2 这些 VOAs 展现出何种对偶对称性？它们与底层规范理论中 S 对偶性的关系是什么？
• RQ3 为何 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 的退化模会存在？它们如何由超群 $U(L|M)$、$U(M|N)$、$U(N|L)$ 的表示标记？
• RQ4 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 与拓扑顶点或 $W_{1+\infty}$ 代数之间的确切关系是什么？
• RQ5 能否在几何或弦理论构造中实现 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 的三重对称性？它如何推广费金–弗伦克尔对偶性？

主要发现

• 顶点算子代数 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 通过 $U(N|L)_{\theta} \times U(M|L)_{1-\theta}$ 及额外的 $bc$ 与 $\beta\gamma$ 系统的 BRST 约化构造，得到一致的 VOAbra。
• 代数 $Y_{L,M,N}[\theta]$ 展现出 $S_3$ 三重对称性：$Y_{L,M,N}[\theta] = Y_{N,L,M}[1/(1-\theta)] = Y_{M,N,L}[1 - 1/\theta]$，标签与耦合参数在 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 作用下变换。
• 当 $L=M=0$ 时，$Y_{0,0,N}[\theta]$ 退化为标准 $W_N$ 代数，参数满足 $b^2 = -\theta$，与已知的费金–弗伦克尔对偶性一致。
• $Y_{N,0,0}[1 - \theta^{-1}]$ 被证明等价于共边构造 $\frac{SU(N)_{\theta/(1-\theta) - N} \times SU(N)_1}{SU(N)_{1/(1-\theta) - N}}$，这是 $W_N$ 的三重对称实现。
• 存在退化模 $D_\nu$、$H_\lambda$、$W_\mu$，分别由 $U(L|M)$、$U(M|N)$、$U(N|L)$ 的权标记，且在三重对称性下被置换。
• 该构造受到 $Y$ 形汇合点处半保形界面的 4d 规范理论设置的启发，其中 S 对偶性与界面置换共同导致 VOAs 中的对偶关系。