[论文解读] Twisted Morse complexes

Augustin Banyaga, David Hurtubise+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文发展了闭流形上带有局部系数的扭曲莫尔斯同调与上同调，证明其与带有局部系统的一般同调及上同调同构。建立了莫尔斯理论版本的庞加莱引理与德拉姆定理，表明扭曲莫尔斯上同调同构于李赫诺维奇上同调，并利用这些工具计算诺维科夫数并检测H-空间结构的障碍。

ABSTRACT

In this paper we study Morse homology and cohomology with local coefficients, i.e. "twisted" Morse homology and cohomology, on closed finite dimensional smooth manifolds. We prove a Morse theoretic version of Eilenberg's Theorem, and we prove isomorphisms between twisted Morse homology, Steenrod's CW-homology with local coefficients for regular CW-complexes, and singular homology with local coefficients. By proving Morse theoretic versions of the Poincare Lemma and of the de Rham Theorem, we show that twisted Morse cohomology with coefficients in a local system determined by a closed 1-form is isomorphic to the Lichnerowicz cohomology obtained by deforming the de Rham differential by the 1-form. We demonstrate the effectiveness of twisted Morse complexes by using them to compute Lichnerowicz cohomology, to compute obstructions to spaces being associative H-spaces, and to compute Novikov numbers.

研究动机与目标

• 开发闭光滑流形上带有局部系数的同调与上同调的莫尔斯理论框架。
• 证明扭曲莫尔斯同调与莫尔斯-斯梅尔对的选择无关，仅依赖于局部系统的同构类。
• 建立扭曲莫尔斯同调与带有局部系数的奇异同调、以及斯廷罗德的CW-同调之间的同构关系。
• 证明以由闭1-形式定义的系统为系数的扭曲莫尔斯上同调同构于李赫诺维奇上同调。
• 将该理论应用于计算诺维科夫数并检测空间不具备结合性H-空间结构的障碍。

提出的方法

• 使用莫尔斯函数的临界点与梯度流线构造带有阿贝尔群局部系统系数的扭曲莫尔斯-斯梅尔-惠特尼链复形。
• 证明一个不变性定理，表明该复形的同调仅依赖于局部系统的同构类，而不依赖于莫尔斯-斯梅尔对的选择。
• 建立埃伦伯格定理的莫尔斯理论版本，通过覆盖空间将扭曲同调与等变同调联系起来。
• 为由闭1-形式 $\eta$ 确定的局部系统定义扭曲莫尔斯上链复形，并构造到李赫诺维奇上同调的链映射。
• 证明 $\eta$-扭曲莫尔斯版本的庞加莱引理与德拉姆定理，确保莫尔斯复形与德拉姆复形之间存在拟同构。
• 利用诺维科夫环结构定义诺维科夫模的局部系统，并通过覆盖空间构造将诺维科夫同调与扭曲莫尔斯同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 莫尔斯同调如何推广以包含局部系数？其满足何种不变性性质？
• RQ2 扭曲莫尔斯同调是否同构于带有局部系数的奇异同调？能否通过与斯廷罗德的CW-同调比较来证明？
• RQ3 扭曲莫尔斯上同调能否与李赫诺维奇上同调识别？哪些莫尔斯理论版本的经典定理（如庞加莱引理、德拉姆定理）支持这一识别？
• RQ4 扭曲莫尔斯复形如何用于计算诺维科夫数并检测拓扑障碍（如H-空间中的非结合性）？
• RQ5 扭曲莫尔斯复形的欧拉示性数与闭1-形式的诺维科夫-贝蒂数之间有何关系？

主要发现

• 以局部系统 $G$ 为系数的扭曲莫尔斯同调同构于带有局部系数的奇异同调，且该同构关系与莫尔斯-斯梅尔对的选择无关。
• 以 $e^{\eta}$ 为系数的扭曲莫尔斯上同调同构于李赫诺维奇上同调 $H^{\ast}_{-\eta}(M)$，该结果由莫尔斯理论版本的庞加莱引理与德拉姆定理支持。
• 对于亏格为二的曲面，对所有闭1-形式显式计算了李赫诺维奇上同调，结果表明当 $\eta$ 非恰当时，$b_1(\eta) = 2$ 且对 $k \neq 1$ 有 $b_k(\eta) = 0$。
• 通过扭曲莫尔斯同调计算了曲面上闭1-形式的诺维科夫数，对任意非恰当 $\zeta$，有 $b_1(\zeta) = 2$ 且对 $k \neq 1$ 有 $b_k(\zeta) = 0$，证实了非平凡的诺维科夫不等式。
• 扭曲莫尔斯复形可检测某些空间并非结合性H-空间，该结果通过障碍理论得出，依据是复形中 $H_0$ 的消失。
• 扭曲莫尔斯复形的欧拉示性数在1-形式的同伦下保持不变，该不变性被用于计算诺维科夫-贝蒂数。