[论文解读] Twisted Ruelle zeta function and complex-valued analytic torsion

Polyxeni Spilioti|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文在奇维紧致双曲流形上，建立了扭曲Ruelle zeta函数与精细解析 torsion 之间的精确关系。对于接近酉表示的殆零表示，zeta函数在零点处解析，且等于精细解析 torsion 的平方乘以一个涉及奇符号算子偶部的 eta 不变量的指数因子。

ABSTRACT

In this paper, we study the twisted Ruelle zeta function associated with the geodesic flow of a compact, hyperbolic, odd-dimensional manifold $X$. The twisted Ruelle zeta function is associated with an acyclic representation $\chi\colon \pi_{1}(X) ightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$, which is close enough to an acyclic, unitary representation. In this case, the twisted Ruelle zeta function is regular at zero and equals the square of the refined analytic torsion, as it is introduced in \cite{BK2}, multiplied by an exponential, which involves the eta invariant of the even part of the odd-signature operator associated with $\chi$.

研究动机与目标

• 研究奇维紧致双曲流形上，扭曲Ruelle zeta函数在零点处的解析行为。
• 理解在殆零且接近酉表示的表示背景下，扭曲Ruelle zeta函数与精细解析 torsion 之间的关系。
• 确定谱不变量——特别是奇符号算子的偶部的 eta 不变量——在连接动力 zeta 函数与解析 torsion 时的作用。
• 将已知的关于解析 torsion 与 zeta 函数的结果，扩展至双曲流形设定下的非酉、殆零表示。

提出的方法

• 分析与紧致奇维双曲流形上的测地流相关的扭曲Ruelle zeta函数。
• 考虑从 π₁(X) 到 GLₙ(ℂ) 的表示 χ，其为殆零且足够接近酉表示。
• 应用奇符号算子的谱理论，以定义其偶部的 eta 不变量。
• 将 [BK2] 中定义的精细解析 torsion 作为核心分析不变量。
• 通过涉及 eta 不变量的指数因子，推导出 zeta 函数与 torsion 之间的函数关系。
• 通过谱论与表示论技术，确立 zeta 函数在零点处的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇维双曲流形上，对于殆零且非酉的表示，扭曲Ruelle zeta函数在零点处的行为如何？
• RQ2 在此设定下，扭曲Ruelle zeta函数与精细解析 torsion 之间的精确关系是什么？
• RQ3 奇符号算子偶部的 eta 不变量如何进入 zeta 函数与 torsion 之间的函数方程？
• RQ4 已知的酉表示结果在多大程度上可推广至接近酉表示的殆零表示？
• RQ5 哪些谱不变量控制了 zeta 函数与解析 torsion 平方之间的校正因子？

主要发现

• 当表示 χ 为殆零且足够接近酉表示时，扭曲Ruelle zeta函数在零点处解析。
• 在零点处，zeta 函数等于 [BK2] 中定义的精细解析 torsion 的平方。
• zeta 函数与 torsion 平方之间的校正因子为一个涉及奇符号算子偶部的 eta 不变量的指数函数。
• 该结果将已知的动力 zeta 函数与解析 torsion 之间的关系，推广至非酉、殆零表示的情形。
• 控制校正因子的谱不变量被明确识别为奇符号算子偶部的 eta 不变量。
• 该分析依赖于动力系统（测地流）、表示论（殆零 χ）与谱几何（eta 不变量）之间的相互作用。