[论文解读] Twistor action for general relativity

Atul Sharma|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文提出了一种无宇宙学常数的欧几里得广义相对论的新扭量作用量，通过扭量空间上部分可积的近复结构重新表述该理论。它通过彭罗斯变换与普莱班斯基的自旋-手征作用量等价，提供了完全非线性、非壳的公式，解决了长期存在的“反手问题”（googly problem），并可系统推导引力MHV规则。

ABSTRACT

We reformulate Euclidean general relativity without cosmological constant as an action governing the complex structure of twistor space. Extending Penrose's non-linear graviton construction, we find a correspondence between twistor spaces with partially integrable almost complex structures and four-dimensional space-times with off-shell metrics. Using this, we prove that our twistor action reduces to Plebanski's action for general relativity via the Penrose transform. This should lead to new insights into the geometry of graviton scattering as well as to the derivation of computational tools like gravitational MHV rules.

研究动机与目标

• 构建一个与无宇宙学常数的欧几里得广义相对论等价的扭量作用量，解决在扭量空间中表述非自对偶引力的长期挑战。
• 将彭罗斯的非线性引力子构造推广，使扭量空间上的近复结构与非壳时空度规相关联。
• 通过编码引力的自对偶与非自对偶部分，为扭量理论中的“反手问题”提供经典、完全非线性的解决方法。
• 为通过扭量作用量的微扰展开推导引力MHV规则及计算工具铺平道路。

提出的方法

• 本文提出彭罗斯非线性引力子构造的推广，将扭量空间上的部分可积近复结构与具有非壳度规的四维时空联系起来。
• 通过在 $\mathbb{P}^1$ 上的全纯丛的总空间上使用形变的近似复结构，构建扭量作用量，其模型基于科达伊拉-斯宾塞形变理论。
• 作用量通过 $\mathbb{P}\mathscr{T}$ 上全纯线丛上的联络 $B$ 构建，具有规范对称性 $B \mapsto B + \bar{\nabla}\chi$，其中 $\chi \in \Omega^{1,0}(\mathbb{P}\mathscr{T}, \mathcal{O}(-4))$。
• 证明该作用量通过彭罗斯变换可约化为普莱班斯基的自旋-手则作用量，自对偶与非自对偶部分通过显式积分与时空拉回映射至时空。
• 通过扭量形式的拉回与 $\Sigma^{\alpha\beta}$ 的结构，将作用量中的相互作用项与普莱班斯基作用量的非自对偶部分匹配，确认其与时空形式的一致性。
• 该构造保持规范对称性，并允许有用的规范选择，这对微扰论中推导MHV规则至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个与无宇宙学常数的欧几里得签名下完整非自对偶爱因斯坦方程等价的扭量作用量？
• RQ2 如何将彭罗斯的非线性引力子构造推广，以包含编码非壳时空度规的、部分可积的近复结构？
• RQ3 所提出的扭量作用量是否通过完整包含引力的自对偶与非自对偶部分，解决了扭量理论中的“反手问题”？
• RQ4 该扭量作用量能否作为通过微扰展开推导引力MHV规则的基础？
• RQ5 额外的规范对称性 $B \mapsto B + \bar{\nabla}\chi$ 在实现一致振幅计算中起什么作用？

主要发现

• 所提出的扭量作用量通过彭罗斯变换被证明与普莱班斯基的自旋-手则作用量等价，建立了扭量空间几何与时空引力之间的直接对应关系。
• 该作用量编码了引力的自对偶与非自对偶部分，提供了完全非线性、非壳的公式，解决了扭量理论中的“反手问题”。
• 作用量的自对偶部分约化为 $S_{\text{SD}}[e,\Gamma] = \int_{\mathcal{M}} \Gamma_{\alpha\beta} \wedge d\Sigma^{\alpha\beta}$，与已知结果一致。
• 通过扭量形式的拉回，普莱班斯基作用量中的非自对偶相互作用项被成功恢复，确认了作用量与时空形式的一致性。
• 该作用量具有额外的规范对称性 $B \mapsto B + \bar{\nabla}\chi$，预计在通过规范固定推导引力MHV规则中将发挥关键作用。
• 该构造为推导引力子散射的MHV规则开辟了道路，且可进一步推广以包含宇宙学常数、超对称性或其它签名。