[论文解读] Twistor spaces for supersingular K3 surfaces

Daniel Bragg, Max Lieblich|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 16

一句话总结

本论文通过在通用 $μ_p$-gerbe 上的扭曲层的相对模空间，为奇异 K3 表面构造了扭转向量空间的正特征类类比，将 Brauer 群与几何族联系起来。它建立了结晶 Torelli 定理，证明了极化 K3 模空间中奇异点集的有理连通性，并在特征 3 下给出了 Ogus-Torelli 定理和潜在良好约化性的新证明。

ABSTRACT

We develop a theory of twistor spaces for supersingular K3 surfaces, extending the analogy between supersingular K3 surfaces and complex analytic K3 surfaces. Our twistor spaces are obtained as relative moduli spaces of twisted sheaves on universal gerbes associated to the Brauer groups of supersingular K3 surfaces. In rank 0, this is a geometric incarnation of the Artin-Tate isomorphism. Twistor spaces give rise to curves in moduli spaces of twisted supersingular K3 surfaces, analogous to the analytic moduli space of marked K3 surfaces. We describe a theory of crystals for twisted supersingular K3 surfaces and a twisted period morphism from the moduli space of twisted supersingular K3 surfaces to this space of crystals. As applications of this theory, we give a new proof of the Ogus-Torelli theorem modeled on Verbitsky's proof in the complex analytic setting and a new proof of the result of Rudakov-Shafarevich that supersingular K3 surfaces have potentially good reduction. These proofs work in characteristic 3, filling in the last remaining gaps in the theory. As a further application, we show that each component of the supersingular locus in each moduli space of polarized K3 surfaces is unirational.

研究动机与目标

• 将经典扭转向量空间构造从复 K3 表面推广到正特征下的奇异 K3 表面。
• 通过通用 gerbe 上扭曲层的模空间，实现 Artin-Tate 同构的几何化。
• 从扭曲奇异 K3 表面的模空间到晶体空间构造一个扭曲周期映射。
• 为 Ogus-Torelli 定理和 Rudakov-Shafarevich 关于潜在良好约化性的结果提供新证明，包括在特征 3 下的情形。
• 证明极化 K3 模空间中奇异点集的每个分支都是有理连通的。

提出的方法

• 在奇异 K3 表面 $X$ 上构造一个通用的 $μ_p$-gerbe，其平坦上同调 $\mathrm{H}^2(X,\boldsymbol{\mu}_p)$ 参数化一个与基域上 $\mathbf{A}^1$ 同构的 Brauer 类族。
• 利用该通用 gerbe 上扭曲层的相对模空间，定义奇异扭转向量族，即具有相同底面但 gerbe 结构变化的扭曲 K3 表面族。
• 通过表面的结晶上同调，从扭曲奇异 K3 表面的模空间到晶体空间定义一个扭曲周期映射。
• 应用扭曲结晶 Torelli 定理，表明扭曲奇异 K3 表面的同构类由其周期数据决定。
• 通过迭代扭曲层的模空间，证明任意奇异 K3 表面均可通过依次构造模空间，从唯一的 $\sigma_0=1$ 表面获得。
• 利用 $pNS(X)^*/pNS(X)$ 中的零化向量的几何结构，参数化扭转向量线并构造具有变化 Brauer 类的族。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，如何为奇异 K3 表面几何实现扭转向量空间？
• RQ2 Brauer 群在参数化类似于复扭转向量族的扭曲 K3 表面族中起什么作用？
• RQ3 能否通过这种模理论构造建立扭曲奇异 K3 表面的结晶 Torelli 定理？
• RQ4 扭转向量族是否自然地作为通用 gerbe 上扭曲层模空间出现？
• RQ5 极化 K3 表面模空间中的奇异点集是否为有理连通的，其切空间的几何结构如何？

主要发现

• 扭曲奇异 K3 表面的模空间到一个结晶周期域的开子集存在一个支配的无分支态射，该域是有理连通的。
• 极化 K3 表面模空间 $M_{2d}$ 中奇异点集 $S_{2d}$ 的每个不可约分支都是有理连通的。
• 在 $S_{2d}$ 的一般点处，切空间由对应于扭转向量线的切方向张成。
• 通过结晶 Torelli 方法证明了扭曲奇异 K3 表面的 Ogus-Torelli 定理，其类比于 Verbitsky 的复解析证明。
• Rudakov 和 Shafarevich 关于奇异 K3 表面潜在良好约化性的结果在特征 3 下被重新证明，填补了理论中最后的空白。
• 每个奇异 K3 表面均可通过从 $\sigma_0=1$ 表面出发，依次取具有合适 Mukai 向量的扭曲层模空间而获得。