[论文解读] Two-colored noncommutative Gerstenhaber formality and infinity Duflo isomorphism

Johan Alm|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文构建了李代数 $\mathfrak{g}$ 的对称代数 $S(\mathfrak{g})$ 与泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 的 Chevalley-Eilenberg 上上同调代数之间的显式 $A_\infty$ quasi-isomorphism，推广了 Duflo-Kontsevich 同构。通过引入一个新的三色配置空间操作代数 $\overline{CF}(\mathbf{H})$，将 Kontsevich 的形式性推广为两个颜色的非交换 Gerstenhaber 同伦代数之间的 quasi-isomorphism，纳入了多向量场通过同伦导子作用的非平凡同伦结构。

ABSTRACT

Using new configuration spaces, we give an explicit construction that extends Kontsevich's Lie-infinity quasi-isomorphism from polyvector fields to Hochschild cochains to a quasi-isomorphism of A-infinity algebras equipped with actions by homotopy derivations of the Lie algebra of polyvector fields. One may term this formality a formality of two-colored noncommutative Gerstenhaber homotopy algebras. In our result the action of polyvector fields by homotopy derivations of the wedge product on polyvector fields is not the adjoint action by the Schouten bracket, but a homotopy nontrivial and, in a sense, unique deformation of that action. As an application we give an explicit Duflo-type construction for Lie-infinity algebras that generalizes the Duflo-Kontsevich isomorphism between the Chevalley-Eilenberg cohomology of the symmetric algebra on a Lie algebra and the Chevalley-Eilenberg cohomology of the universal enveloping algebra of the Lie algebra.

研究动机与目标

• 将 Kontsevich 的 $L_\infty$ 形式性映射扩展为带有多向量场李代数的同伦导子作用的 $A_\infty$ 代数之间的 quasi-isomorphism。
• 为李代数无穷代数构造 Duflo 同构的强同伦版本，推广 Duflo-Kontsevich 同构在 $S(\mathfrak{g})$ 与 $U(\mathfrak{g})$ 的 Chevalley-Eilenberg 上上同调之间的关系。
• 证明 Duflo-Kontsevich 同构无法普遍提升为标准 Chevalley-Eilenberg 上上同调代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 与 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 之间的 $A_\infty$ quasi-isomorphism。
• 引入一个三色操作代数 $\overline{CF}(\mathbf{H})$，用于建模带有平行于边界直线的紧化配置空间，从而实现更精细的形式性结构。

提出的方法

• 引入一个新的三色操作代数 $\overline{CF}(\mathbf{H})$，用于上半平面中带有平行于边界直线的点的紧化配置空间，推广 Kontsevich 的 $\overline{C}(\mathbf{H})$。
• 通过基本链构造表示 $\mathcal{K}(\overline{CF}(\mathbf{H})) \to \mathrm{End}(T_{\text{poly}}, T_{\text{poly}}, \mathcal{O})$，编码双色非交换 $G_\infty$ 代数的形式性数据。
• 采用与 Kontsevich 相同的技术，定义 $L_\infty$ 映射 $T_{\text{poly}} \to C^\bullet(T_{\text{poly}}, T_{\text{poly}})$，扩展伴随作用，并定义 $A_\infty$ 代数之间的同态 $T_{\text{poly}} \to C^\bullet(\mathcal{O}, \mathcal{O})$，带有同伦导子作用。
• 定义 Chevalley-Eilenberg 上上同调代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 的一个通用且通常具有非平凡同伦结构的 $A_\infty$ 变形 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$，其在上同调上携带 Duflo-Kontsevich 同构。
• 建立 $A_\infty$ quasi-isomorphism $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}} \to C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$，其在上同调上诱导 Duflo-Kontsevich 同构。
• 分析一个同态 $f: \mathcal{NCG}_\infty \to \mathcal{P}$ 的形变复形 $\mathrm{Def}(f)$，将其分解为李代数与结合代数结构及其通过操作代数导子相互作用的分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kontsevich 的形式性映射能否被扩展为带有多向量场李代数的同伦导子作用的 $A_\infty$ 代数之间的 quasi-isomorphism？
• RQ2 是否存在一个 Duflo 同构的强同伦版本，能推广 Lie-infinity 代数的 Duflo-Kontsevich 同构？
• RQ3 Duflo-Kontsevich 同构能否被提升为标准 Chevalley-Eilenberg 上上同调代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 与 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 之间的 $A_\infty$ quasi-isomorphism？
• RQ4 三色配置空间操作代数 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 在编码双色非交换 Gerstenhaber 同伦代数结构中的作用是什么？

主要发现

• 本文构建了 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ 与 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 之间显式的 $A_\infty$ quasi-isomorphism，其在上同调上诱导 Duflo-Kontsevich 同构。
• 该奇异形变 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ 是 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}})$ 上一个通用且通常具有非平凡同伦结构的 $A_\infty$ 结构，与标准微分代数结构不同。
• 由于同伦结构的非平凡性，Duflo-Kontsevich 同构无法普遍提升为标准 Chevalley-Eilenberg 上上同调代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 与 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 之间的 $A_\infty$ quasi-isomorphism。
• 三色操作代数 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 为双色非交换 Gerstenhaber 同伦代数的形式性提供了几何模型，推广了 Kontsevich 的原始构造。
• 多向量场对多向量场的作用并非通过 Schouten 括号的伴随作用，而是其同伦非平凡的形变，这种形变在某种意义上是唯一的。
• 同态 $f: \mathcal{NCG}_\infty \to \mathcal{P}$ 的形变复形 $\mathrm{Def}(f)$ 作为链复形同构于映射锥 $\mathrm{Cone}(\rho^f)$，作为分次李代数同构于半直积 $\mathrm{Def}(\lambda^f) \ltimes \mathrm{Def}(\mu^f)$。