[论文解读] Two Conjectures on Gauge Theories, Gravity, and Infinite Dimensional Kac-Moody Groups

Ori Ganor|ArXiv.org|Mar 12, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 71被引用 19

一句话总结

本文提出了一种主生成函数 Ξ(ξ)，其定义在无限维余从流形 𝔈₁₀(ℤ) 𝔈₁₀(ℝ)/K 上，该函数编码了在环面上紧化后的杨-米尔斯理论与小弦理论的划分函数。通过将几何结构和 U duality 变换嵌入此空间，并利用调和函数解释瞬子贡献，该研究推测 Ξ 是 𝔈₁₀(ℝ)/K 上唯一的调和函数，其边界条件在去紧化极限下趋于零，从而通过无限维 Kac-Moody 对称性统一了在环面上的规范理论、引力与 M 理论。

ABSTRACT

We propose that the structure of gauge theories, the $(2,0)$ and little-string theories is encoded in a unique function on the real group manifold $E_{10}(R)$. The function is invariant under the maximal compact subgroup $K$ acting on the right and under the discrete U-duality subgroup $E_{10}(Z)$ on the left. The manifold $E_{10}(Z)\backslash E_{10}(R) /K$ contains an infinite number of periodic variables. The partition function of U(n), N=4 Super-Yang-Mills theory on $T^4$, with generic SO(6) R-symmetry twists, for example, is derived from the $n^{th}$ coefficient of the Fourier transform of the function with respect to appropriate periodic variables, setting other variables to the R-symmetry twists and the radii of $T^4$. In particular, the partition function of nonsupersymmetric Yang-Mills theory is a special case, obtained from the twisted $(2,0)$ or little-string theories. The function also seems to encode the answer to questions about M-theory on an arbitrary $T^8$. The second conjecture that we wish to propose is that this function is harmonic with respect to the $E_{10}(R)$ invariant metric. In a similar fashion, we propose that there exists a function on the infinite Kac-Moody group $DE_{18}$ that encodes the twisted partition functions of the $E_8$ 5+1D theories as well as answers to questions about the heterotic string on $T^7$.

研究动机与目标

• 构建规范理论与小弦理论在环面上紧化后的划分函数的生成函数。
• 在单一无限维余从空间 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K 内统一几何扭变、U duality 扭变与瞬子贡献。
• 推测该生成函数 Ξ(ξ) 是 𝔈₁₀(ℝ)/K 上的调和函数，且具有唯一边界条件。
• 将 M 理论在 T⁹ 上带有 SO(2) 扭变的划分函数嵌入 E₁₀ 结构中，将其与 (2,0) 理论及小弦理论联系起来。
• 提供一个框架，使得 M 理论在 T⁸ 上的 S 矩阵与规范理论的低能极限均能从 E₁₀ 上的单一调和函数中导出。

提出的方法

• 为 T⁴ 上的 U(N) 杨-米尔斯理论定义生成函数 Z(ϕ) = ∑ₙ₌₀^∞ e⁻ⁿᵗ Zₙ cos(nϕ)，其中 t 确保级数收敛。
• 通过引入 R 对称性扭变来修正划分函数，以正则化 (2,0) 理论与小弦理论在 T⁶ 上的发散问题。
• 将几何扭变与 U duality 扭变参数嵌入无限维余从空间 𝔈₁₀(ℤ)\𝔈₁₀(ℝ)/K，其中 𝔈₁₀ 为无限维 Kac-Moody 群。
• 将主函数 Ξ(ξ) 构造为带有通用无理 SO(2) 扭变的 M 理论在 T⁹ 上的划分函数，外加 U duality 扭变。
• 通过取 7 个 T⁹ 的半径趋于无穷的极限，从 Ξ(ξ) 中提取 N 个瞬子贡献，从而分离出与 (2,0) 理论相关的 T⁶ 紧化。
• 对与瞬子相关的周期性通量变量进行傅里叶变换，以分离出 M5 膜瞬子与卡鲁扎-克莱因单极子瞬子的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的生成函数 Ξ(ξ)，可通过无限维对称性编码在环面上的杨-米尔斯理论与小弦理论的划分函数？
• RQ2 在通用无理扭变下，M 理论在 T⁹ 上的划分函数是否定义良好且非平凡？其是否依赖于几何与 U duality 扭变参数？
• RQ3 能否从同一主函数 Ξ(ξ) 中提取 M 理论在 T⁸ 上的 S 矩阵，特别是其中的引力部分 Z₀？
• RQ4 Ξ(ξ) 是否为 𝔈₁₀(ℝ)/K 上的调和函数，且具有在去紧化极限下趋于零的唯一边界条件？
• RQ5 紧化理论中的电荷与磁通量如何与 Ξ(ξ) 的调和结构及 confinement 现象相关联？

主要发现

• U(N) 杨-米尔斯理论在 T⁴ 上的生成函数 Z(ϕ) 被推测为在 E₁₀ 余从空间上主函数 Ξ(ξ) 的傅里叶分量。
• M 理论在 T⁹ 上带有 SO(2) 扭变的划分函数被推测在通用无理扭变下定义良好且非平凡，构成 Ξ(ξ) 的基础。
• 主函数 Ξ(ξ) 被推测为在 𝔈₁₀(ℝ)/K 上的调和函数，其关于 E₁₀(ℝ)-不变度量唯一确定，边界条件在去紧化极限下趋于零。
• 在生成函数 (1) 中的引力部分 Z₀ 被识别为带有 Spin(4) 扭变的 M 理论在 T⁷ 上的贡献，编码了无质量引力子的 S 矩阵。
• 通过取 7 个 T⁹ 半径趋于无穷的极限，从 log(Ξ) 中提取出小弦理论划分函数的 N 个瞬子贡献，从而分离出 T⁶ 紧化。
• 该构造同时包含了 M5 膜瞬子与卡鲁扎-克莱因单极子瞬子，其通量提供了傅里叶展开的周期性变量，用于分离贡献。