[论文解读] Two-dimensional Anomaly, Orbifolding, and Boundary States

Ken Kikuchi, Yang Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文通过分析环面上对称性弦的插入，建立了二维有理共形场论（RCFT）中异常、对称性作用的障碍与边界态不变性之间的联系。通过研究非平凡环路上对称性弦的非交换性，提出了一种检测离散全局对称性 $G$ 异常的判据，证明了在 Wess-Zumino-Witten 模型中，异常自由性、可对称化性与 $G$-不变边界态的存在性三者等价。

ABSTRACT

We study anomalies of discrete internal global symmetry $G$ in two-dimensional rational conformal field theories based on twisted torus partition functions. The anomaly of $G$ can be seen from the noncommutativity of two symmetry lines inserted along the nontrivial cycles of two-torus and we propose a criterion to detect the anomaly, which agrees with the truncated modular $S$-matrix approach. The obstruction for orbifolding has been recently interpreted as a mixed anomaly between $G$ and large diffeomorphisms. We clarify the relations among anomaly-free conditions, orbifoldable conditions, and invariant boundary state condition, focusing on Wess-Zumino-Witten models.

研究动机与目标

• 澄清二维 RCFT 中全局对称性异常、对称化性与不变边界态之间的相互作用。
• 利用扭结环面划分函数，提供一种几何与代数判据，用于检测离散全局对称性中的异常。
• 证明异常自由性的条件与对称化性以及 WZW 模型中不变边界态存在的条件完全一致。
• 通过模 $S$-矩阵与二次型，统一异常、对称化障碍与边界态不变性的概念。

提出的方法

• 通过分析环面上非平凡环路中插入的对称性弦的非交换性来检测异常。
• 应用截断模 $S$-矩阵方法以验证异常判据。
• 利用来自仿射李代数的二次型，计算异常自由性的相位条件。
• 推导出 $D_{2l}$ 与 $D_{2l+1}$ 型 WZW 模型中 $k \in 2\mathbb{Z}$ 的条件，以确保异常自由性与边界态不变性。
• 建立 $Ch$-不变边界态的存在性与对称化中 $T$-变换一致性的等价关系。
• 在主权 $P^k_+$ 上进行显式计算，构造在群作用下的不变边界态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过环面上的拓扑缺陷弦检测二维 RCFT 中离散全局对称性的异常？
• RQ2 在 WZW 模型中，异常自由性、对称化性与不变边界态存在性之间的精确关系是什么？
• RQ3 为何在 $D_{2l}$ 与 $D_{2l+1}$ 型模型中，$k \in 2\mathbb{Z}$ 成为异常自由性与边界态不变性的必要条件？
• RQ4 环面上对称性弦的非交换性如何编码与三维陈-西蒙斯理论中链接相同的拓扑信息？
• RQ5 是否存在 $Ch$-不变边界态等价于对称化中 $T$-变换的一致性？

主要发现

• 二维 RCFT 中离散全局对称性 $G$ 的异常可通过环面两个环路上 $G$-对称性弦的非交换性来检测。
• 所提出的异常判据与截断模 $S$-矩阵方法完全一致，验证了与已有方法的一致性。
• 对于 $D_{2l}$ 与 $D_{2l+1}$ 型 WZW 模型，条件 $k \in 2\mathbb{Z}$ 同时确保异常自由性与 $G$-不变边界态的存在。
• $k \in 2\mathbb{Z}$ 条件也是 $D_{2l}$ 模型中通过 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 作用实现对称化的必要且充分条件。
• 在 $k=2$ 时，显式构造出一个不变边界态：$\hat{\mu}_{\text{I.B.}}^{(2)} = [0;0,1,0,\dots,0,1,0,0]$，适用于 $D_{2l}$ 模型。
• $Ch$-不变边界态的存在性与对称化中 $T$-变换的一致性等价，该结论在 $D_{2l}$ 模型中对 $H = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 成立。