[论文解读] Two-dimensional families of hyperelliptic jacobians with big monodromy

Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文在特征 ≠ 2 的全局域上构造了显式的二维超椭圆雅芬从簇族，其单连通群作用大且无非平凡自同态。通过选取参数 $ t_1, t_2 \in K $ 使得多项式 $ f(x) = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 的伽罗华群为 $ \mathbf{S}_{2g} $ 或 $ \mathbf{A}_{2g} $，雅芬从簇 $ J(C_f) $ 在 $ \ell $-进塔特模上实现最大伽罗华像，且自同态环平凡，从而确保单连通群作用大且簇为简单型。

ABSTRACT

Let $K$ be a global field of characteristic different from 2 and $u(x)\in K[x]$ be an irreducible polynomial of even degree $2g\ge 6$, whose Galois group over $K$ is either the full symmetric group $S_{2g}$ or the alternating group $A_{2g}$. We describe explicitly how to choose (infinitely many) pairs of distinct elements $t_1, t_2$ of $K$ such that the $g$-dimensional jacobian of a hyperelliptic curve $y^2=(x-t_1)(x-t_2))u(x)$ has no nontrivial endomorphisms over an algebraic closure of $K$ and has big $\ell$-adic monodromy.

研究动机与目标

• 在特征 ≠ 2 的全局域上显式构造具有大单连通群作用且无非平凡自同态的二维超椭圆雅芬从簇族。
• 确定参数 $ t_1, t_2 \in K $ 的条件，使得方程 $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 的雅芬从簇具有平凡自同态环，并在 $ \ell $-进塔特模上实现最大伽罗华像。
• 证明此类雅芬从簇彼此之间不互异同，且在所有余维数上满足塔特猜想与霍奇猜想。
• 确立雅芬从簇的自同构群恰好为 $ \{ \pm 1 \} $，从而排除除超椭圆对合外的任何非平凡自同构。

提出的方法

• 构造形如 $ C_f: y^2 = f(x) $ 的超椭圆曲线，其中 $ f(x) = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $，且 $ u(x) $ 为次数 $ 2g \geq 6 $ 的不可约多项式，其伽罗华群为 $ \mathbf{S}_{2g} $ 或 $ \mathbf{A}_{2g} $。
• 利用伽罗华理论论证，任何定义在 $ \bar{K} $ 上的雅芬从簇同构必源于 $ \mathrm{PGL}_2(\bar{K}) $ 中保持分支点的分式线性变换。
• 应用希尔伯特定理 90，证明若此类变换不在 $ K $ 上定义，则会导致雅芬从簇存在非平凡自同构，与 $ \mathrm{End}(J(C_f)) $ 的平凡性矛盾。
• 证明雅芬从簇的唯一自同构为 $ \pm 1 $，这意味着除非该变换保持根集集合不变且在该集合上作用平凡，否则不存在非平凡自同构。
• 利用托里奇定理，将雅芬从簇的同构性归约为通过 $ \mathrm{PGL}_2 $ 作用于分支点的超椭圆曲线的同构性。
• 分析 $ \ell $-挠点上的伽罗华作用，证明伽罗华表示的像在辛相似群中为开集，从而蕴含大单连通群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，方程 $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 的雅芬从簇具有平凡自同态环？
• RQ2 该雅芬从簇的 $ \ell $-进塔特模上的伽罗华表示在何时具有大单连通群作用？
• RQ3 不同选择的 $ t_1, t_2 $ 是否会产生非同构的雅芬从簇，且其自同态环平凡、单连通群作用大？
• RQ4 自同态环的平凡性对 $ \bar{K} $-同构的存在性施加了何种限制？
• RQ5 此类雅芬从簇的自积在多大程度上满足塔特猜想与霍奇猜想？

主要发现

• 对无穷多对满足 $ t_1 \neq t_2 $ 的 $ (t_1, t_2) \in K \times K $，方程 $ y^2 = (x - t_1)(x - t_2)u(x) $ 的雅芬从簇 $ J(C_f) $ 具有平凡自同态环 $ \mathrm{End}(J(C_f)) = \mathbb{Z} $。
• 雅芬从簇 $ J(C_f) $ 的 $ \ell $-进塔特模上的伽罗华表示的像在辛相似群中为开集，从而蕴含大单连通群作用。
• $ J(C_f) $ 上不存在非平凡的 $ \bar{K} $-自同构，因此 $ \mathrm{Aut}(J(C_f)) = \{ \pm 1 \} $。
• 不同参数对 $ (t_1, t_2) $ 对应的雅芬从簇在 $ \bar{K} $ 上两两非同构，原因在于不存在保持分支点的 $ \mathrm{PGL}_2(K) $-映射。
• 所有自积 $ J(C_f)^m $ 在所有余维数上均满足塔特猜想，因为所有塔特类均为除子类的线性组合。
• 在特征零且具有复嵌入的情形下，所有自积 $ J(C_f)^m $ 在所有余维数上均满足霍奇猜想。