[论文解读] Two-Dimensional Twisted Sigma Models And The Theory of Chiral Differential Operators

Meng-Chwan Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文通过在复流形上的全纯向量丛上构造一个扭曲的 $(0,2)$ 异规sigma模型，为手征微分算子（CDOs）提供了物理诠释，表明异常对应于顶点超代数层的全局定义障碍。一个关键结果是，仅从全纯数据推导出一环beta函数，并在 $\mathbb{CP}^1$ 上的半扭曲 $(2,2)$ 模型中识别出水平为 $t$ 的 $SL(2)$ 当量代数，将CDO模空间与WZW理论的水平联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we study the perturbative aspects of a twisted version of the two-dimensional $(0,2)$ heterotic sigma model on a holomorphic gauge bundle $\mathcal E$ over a complex, hermitian manifold $X$. We show that the model can be naturally described in terms of the mathematical theory of ``Chiral Differential Operators". In particular, the physical anomalies of the sigma model can be reinterpreted in terms of an obstruction to a global definition of the associated sheaf of vertex superalgebras derived from the free conformal field theory describing the model locally on $X$. One can also obtain a novel understanding of the sigma model one-loop beta function solely in terms of holomorphic data. At the $(2,2)$ locus, where the obstruction vanishes for $\it{any}$ smooth manifold $X$, we obtain a purely mathematical description of the half-twisted variant of the topological A-model and (if $c_1(X) =0$) its elliptic genus. By studying the half-twisted $(2,2)$ model on $X=\mathbb {CP}^1$, one can show that a subset of the infinite-dimensional space of physical operators generates an underlying super-affine Lie algebra. Furthermore, on a non-Kähler, parallelised, group manifold with torsion, we uncover a direct relationship between the modulus of the corresponding sheaves of chiral de Rham complex, and the level of the underlying WZW theory.

研究动机与目标

• 通过扭曲的 $(0,2)$ 异规sigma模型，为手征微分算子（CDOs）的数学理论提供物理诠释。
• 阐明模型中异常的物理起源，即作为顶点超代数层全局定义障碍。
• 仅使用目标流形与丛的全纯数据，推导出sigma模型的一环beta函数。
• 在具有挠率的非凯勒群流形上，建立CDO模空间与底层WZW理论水平之间的对应关系。

提出的方法

• 在复的、赫米特流形 $X$ 上的全纯规范丛 $\mathcal{E}$ 上构造一个扭曲的 $(0,2)$ 异规sigma模型，通过重定义世界面场的自旋。
• 在微扰 regime 中分析物理算子的chiral代数，将其识别为源自局部自由 $bc$-$\beta\gamma$ 系统的顶点超代数层。
• 使用Cech上同调描述可观测量层的全局结构，揭示阻碍其全局定义的障碍即为物理异常。
• 计算 $\mathbb{CP}^1$ 上半扭曲 $(2,2)$ 模型中电流的算子乘积展开（OPEs），识别出水平为 $t$ 和 $-t$ 的 $SL(2)$ 与 $GL(1)$ 当量代数。
• 研究电流在非平凡转移函数下的变换，表明 $t$-依赖项允许该层的一致全局定义。
• 通过 $k = t - 2$ 将CDR参数 $t$ 与 $SU(2)$ WZW理论的水平 $k$ 关联，确认在 $t=0$ 时的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 手征微分算子的数学理论如何通过扭曲的异规sigma模型实现物理化？
• RQ2 该模型中顶点超代数层全局定义障碍的物理意义是什么？
• RQ3 $(0,2)$ 模型的一环beta函数能否完全用目标空间与丛的全纯数据表达？
• RQ4 在非凯勒、平行化群流形上，CDO模空间与底层WZW理论水平之间有何关系？
• RQ5 $\mathbb{CP}^1$ 上半扭曲 $(2,2)$ 模型的物理算子chiral代数结构如何？它是否支持无穷维李代数？

主要发现

• 在扭曲的 $(0,2)$ sigma模型中，物理异常被识别为源自局部自由共形场论的顶点超代数层的全局定义障碍。
• 该模型的一环beta函数完全由目标流形和全纯丛上的全纯数据决定，无需非全纯修正。
• 在 $\mathbb{CP}^1$ 上的半扭曲 $(2,2)$ 模型中，物理算子的chiral代数包含一个子集，其生成一个超仿射李代数。
• 在具有挠率的非凯勒、平行化群流形上，CDO层的模数与底层WZW理论的水平通过 $k = t - 2$ 直接关联，其中 $t$ 为CDR参数。
• $\mathbb{CP}^1$ 上半扭曲模型中的 $SL(2)$ 与 $GL(1)$ 当量代数的水平分别为 $t$ 和 $-t$，与WZW对应关系一致。
• ${\overline{Q}}_+$-上同调在 $\mathbf{S}^3 \times \mathbf{S}^1$ 上是精确的，且无瞬子修正，因为目标空间中不存在亏格为零的全纯曲线。