[论文解读] Elliptic Genera of singular varieties, orbifold elliptic genus and chiral deRham complex

Lev Borisov, Anatoly Libgober|ArXiv.org|Jul 20, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 26

一句话总结

本文通过共形德拉姆上同调与轨道化解析，引入了奇异代数簇的双变量椭圆亏格的数学框架，推广了麦克唐纳与扎吉尔关于欧拉示性数与示性数的生成函数。该研究推导出对称积轨道椭圆亏格的闭式生成函数，将弦理论中的结果严谨地延伸至代数几何领域。

ABSTRACT

This paper surveys the authors recent work on two variable elliptic genus of singular varieties. The last section calculates a generating function for the elliptic genera of symmetric products. This generalizes the classical results of Macdonald and Zagier.

研究动机与目标

• 通过上同调方法将双变量椭圆亏格推广至奇异代数簇。
• 为此前通过弦理论推导出的轨道椭圆亏格提供数学基础。
• 将经典关于欧拉示性数与示性数生成函数的结果推广至椭圆亏格框架。
• 建立切向德拉姆复形与代数几何中椭圆亏格之间的联系。

提出的方法

• 通过法诺 торic 簇中超曲面的切向德拉姆复形上同调定义椭圆亏格。
• 利用奇点解析方法，将奇异簇的椭圆亏格定义为光滑模型的极限。
• 应用轨道化技术，通过群作用在 $X$ 的上同调上，定义商空间 $X/G$ 的椭圆亏格。
• 运用李普希茨不动点定理与对称群共轭类上的生成函数，计算轨道亏格。
• 利用模形式性质与 theta 函数，将亏格表示为特征级数与模形式。
• 通过在循环类型上求和并利用李普希茨数的乘法性，推导对称积的生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以数学上严格的方式将双变量椭圆亏格扩展至奇异代数簇？
• RQ2 在奇异簇背景下，切向德拉姆复形与椭圆亏格之间存在何种关系？
• RQ3 能否完全通过数学方法推导出对称积轨道化模型的迪克格拉夫-摩尔-维尔林德-维尔林德公式？
• RQ4 对称积椭圆亏格的生成函数如何推广麦克唐纳关于欧拉示性数的公式与扎吉尔关于示性数的公式？

主要发现

• 轨道椭圆亏格的对称积生成函数为 $\prod_{m,l} \frac{1}{(1 - t q^m y^l)^{c(m,l)}}$，其中 $c(m,l)$ 为原流形椭圆亏格的系数。
• 当 $q=0$ 且 $y=-1$ 时，该公式退化为麦克唐纳的生成函数 $\frac{1}{(1-t)^{e(X)}}$，即欧拉示性数。
• 当 $q=0$ 且 $y=1$ 时，该公式恢复扎吉尔的示性数生成函数 $\frac{(1+t)^{\sigma-e\over 2}}{(1-t)^{\sigma+e\over 2}}$。
• 对称积 $X^n / \Sigma_n$ 的椭圆亏格通过 $\Sigma_n$ 的共轭类求和计算，权重为群作用的李普希茨数。
• 切向德拉姆复形为椭圆亏格提供了上同调模型，即使在奇异簇上也与物理定义一致。
• 该方法在椭圆亏格背景下，精确建立了对称群表示理论与模形式之间的联系。