[论文解读] Two open problems in the fixed point theory of contractive type mappings on first-countable quasimetric spaces

Mitrofan M. Choban, Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文解决了第一可数拟度量空间中压缩映射的不动点理论中的两个开放问题。证明了在完备拟度量空间上，压缩映射存在不动点，对F-对称空间上的相关问题提供了部分解答，并通过四个详尽的例子说明了在非对称设定下这些问题的复杂性。

ABSTRACT

Two open problems in the fixed point theory of quasi metric spaces posed in [Berinde, V. and Choban, M. M., {\it Generalized distances and their associate metrics. Impact on fixed point theory}, Creat. Math. Inform. {\bf 22} (2013), no. 1, 23--32] are considered. We give a complete answer to the first problem, a partial answer to the second one, and also illustrate the complexity and relevance of these problems by means of four very interesting and comprehensive examples.

研究动机与目标

• 解决开放问题1：完备拟度量空间上的压缩映射是否具有不动点？
• 对开放问题2提供部分解答：完备F-对称空间上的压缩映射是否具有不动点？
• 通过四个全面的例子，展示这些问题在非对称设定下的复杂性与相关性。
• 阐明拟度量空间中分离完备性与标准完备性之间的区别。
• 建立拟度量空间中不动点定理推广经典度量空间结果的条件。

提出的方法

• 使用与拟度量相关的对称概念，定义为 $ d_s(x,y) = d(x,y) + d(y,x) $，将拟度量空间与度量空间联系起来。
• 将经典的Banach压缩映射原理应用于对称 $ d_s $，表明若 $ g $ 是 $ (X,d) $ 上的 $ \lambda $-压缩映射，则它也是 $ (X,d_s) $ 上的 $ \lambda $-压缩映射。
• 利用 $ (X,d) $ 的分离完备性与 $ (X,d_s) $ 的完备性之间的等价性，将拟度量空间中的不动点问题约化为度量空间理论。
• 采用 $ N $-距离与 $ F $-距离（Fréchet距离）的概念，分析拟度量设定下的收敛性与极限唯一性。
• 构建四个详尽的例子，说明在非对称拟度量空间中序列的行为、收敛性及不动点行为。
• 分析Picard轨道 $ O(x,\varphi) = \{ \varphi^n(x) \} $，并证明在压缩条件下，此类轨道是柯西序列且关于分离收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个完备的第一可数拟度量空间上的压缩映射是否都具有不动点？
• RQ2 在何种条件下，完备F-对称空间上的压缩映射存在不动点？
• RQ3 在拟度量空间中，分离收敛与标准收敛有何不同？它们在不动点存在性中起什么作用？
• RQ4 拟度量空间中完备性与分离完备性之间有何关系？
• RQ5 拟度量空间的拓扑与度量性质如何影响迭代序列与不动点的行为？

主要发现

• 问题1已完全解决：每个完备拟度量空间上的压缩映射都有唯一的不动点。
• 问题2部分解决：在F-对称性假设下，完备F-对称空间上的压缩映射有唯一的不动点。
• 当且仅当关联的对称空间 $ (X,d_s) $ 完备时，空间 $ (X,d) $ 是分离完备的。
• 在分离完备的拟度量空间中，每个压缩映射都有唯一的不动点，且每个Picard轨道都关于该不动点分离收敛。
• 所提供的例子表明，在拟度量空间中，柯西序列可能不收敛到唯一极限，因此分离收敛对不动点存在性至关重要。
• 本文建立：当且仅当 $ d $ 满足一致连续性条件时，$ d $ 是 $ F $-距离，即当 $ d(x,y) \leq \delta $ 且 $ d(y,z) \leq \delta $ 时，有 $ d(x,z) \leq \varepsilon $，其中 $ \delta $ 仅依赖于 $ \varepsilon $。