[论文解读] Two-Point $L_1$ Shortest Path Queries in the Plane

Danny Z. Chen, R. Inkulu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文提出了平面中带有多边形障碍物的两点 $L_1$ 最短路径查询的改进数据结构，将查询时间从 $O(/\log^2 n)$ 降低至 $O(/\log n)$，同时保持接近线性空间。通过分数级联和分层分解技术，实现了 $O(/\log n + k)$ 的查询时间，空间复杂度为 $O(n + h^2 \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$，在 $h$ 较小时显著优于先前工作。该方法还可扩展至带权矩形最短路径问题，实现类似的效率提升。

ABSTRACT

Let $\mathcal{P}$ be a set of $h$ pairwise-disjoint polygonal obstacles with a total of $n$ vertices in the plane. We consider the problem of building a data structure that can quickly compute an $L_1$ shortest obstacle-avoiding path between any two query points $s$ and $t$. Previously, a data structure of size $O(n^2\log n)$ was constructed in $O(n^2\log^2 n)$ time that answers each two-point query in $O(\log^2 n+k)$ time, i.e., the shortest path length is reported in $O(\log^2 n)$ time and an actual path is reported in additional $O(k)$ time, where $k$ is the number of edges of the output path. In this paper, we build a new data structure of size $O(n+h^2\cdot \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ in $O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ time that answers each query in $O(\log n+k)$ time. Note that $n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}}=O(n+h^{2+ε})$ for any constant $ε>0$. Further, we extend our techniques to the weighted rectilinear version in which the "obstacles" of $\mathcal{P}$ are rectilinear regions with "weights" and allow $L_1$ paths to travel through them with weighted costs. Our algorithm answers each query in $O(\log n+k)$ time with a data structure of size $O(n^2\cdot \log n\cdot 4^{\sqrt{\log n}})$ that is built in $O(n^2\cdot \log^{2} n\cdot 4^{\sqrt{\log n}})$ time (note that $n^2\cdot \log^{2} n\cdot 4^{\sqrt{\log n}}= O(n^{2+ε})$ for any constant $ε>0$).

研究动机与目标

• 设计一种数据结构，支持在包含 $h$ 个不相交多边形障碍物的自由空间中任意两点之间的 $L_1$ 最短路径查询，最小化查询与预处理时间。
• 在 $h$ 较小时，将查询时间从 $O(\log^2 n)$ 降低至 $O(\log n)$，同时保持空间与预处理时间接近 $n$ 的线性复杂度。
• 将该方法扩展至带权矩形最短路径问题，其中障碍物具有非负权重，路径代价取决于区域权重。
• 为平面中无权与带权 $L_1$ 最短路径查询实现更优的空间-时间权衡。

提出的方法

• 利用垂直分解和障碍物顶点上的可视性图 $G_E(\mathcal{V})$ 构建自由空间的分层分解，以实现高效的网关计算。
• 在切线沿线的可视事件有序列表上应用分数级联，以 $O(\log n)$ 时间加速 $s$ 到网关与 $t$ 到网关的距离查询。
• 对 $G_E(\mathcal{V})$ 中每个顶点的最短路径树进行预处理，以实现图中任意两点间最短路径距离的 $O(1)$ 查找。
• 对于带权矩形路径，基于障碍物区域成本维护边权重，并通过沿线段预计算的 $d_w$ 值实现加权距离传播。
• 利用 $4^{\sqrt{\log h}}$ 的增长速度低于 $h$ 的任意多项式这一事实，使得空间复杂度可表示为 $O(n + h^{2+\epsilon})$（对任意 $\epsilon > 0$）。
• 结合基于网关的路径重构与分数级联，以 $O(\log n + k)$ 时间计算完整路径，其中 $k$ 为输出路径中的边数。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否将平面中 $L_1$ 最短路径查询的查询时间从 $O(\log^2 n)$ 降低至 $O(\log n)$，同时保持接近线性空间？
• RQ2 当 $h$ 相对于 $n$ 较小时，$L_1$ 最短路径查询在空间与预处理时间之间的最优权衡是什么？
• RQ3 用于无权 $L_1$ 最短路径的技巧能否扩展至基于区域成本的带权矩形路径情况？
• RQ4 分数级联与分层分解的使用如何提升基于可视性的路径计算效率？

主要发现

• 本文通过大小为 $O(n + h^2 \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ 的数据结构，实现了 $O(\log n)$ 的 $L_1$ 最短路径查询时间，该复杂度对任意 $\epsilon > 0$ 可表示为 $O(n + h^{2+\epsilon})$。
• 对于带权矩形路径情况，数据结构的空间复杂度为 $O(n^2 \log n \cdot 4^{\sqrt{\log n}})$，预处理时间为 $O(n^2 \log^2 n \cdot 4^{\sqrt{\log n}})$，实现 $O(\log n)$ 的查询时间。
• 与 Chen 等人 [6] 的先前 $O(\log^2 n)$ 结果相比，查询时间提升了对数因子，且当 $h = O(n^\delta)$（$ less 1$）时，预处理与空间复杂度均有所降低。
• 该方法支持 $O(\log n + k)$ 的查询时间，空间复杂度为 $O(nh \log h)$，预处理时间为 $O(nh \log h + h^2 \log^2 h)$，提供了良好的空间-时间权衡。
• 在可视列表上使用分数级联，使得源点与目标点的网关距离计算可在 $O(\log n)$ 时间内完成。
• 该方法可推广至带权矩形路径情况，其中路径代价依赖于障碍物区域权重，实现 $O(\log n)$ 查询时间，空间复杂度为 $O(n^2 \log n \cdot 4^{\sqrt{\log n}})$。