[论文解读] Two-side a posteriori error estimates for the DWR method

Bernhard Endtmayer, Ulrich Langer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文针对具有多个目标泛函的非线性PDE中的加权残差（DWR）方法，提出了双侧后验误差估计，同时考虑了离散化误差和非线性迭代误差。在饱和假设下，建立了效果系数接近于1的高效误差估计器，数值实验验证了其改进的收敛率和可忽略的余项。

ABSTRACT

In this work, we derive two-sided a posteriori error estimates for the dual-weighted residual (DWR) method. We consider both single and multiple goal functionals. Using a saturation assumption, we derive lower bounds yielding the efficiency of the error estimator. These results hold true for both nonlinear partial differential equations and nonlinear functionals of interest. Furthermore, the DWR method employed in this work accounts for balancing the discretization error with the nonlinear iteration error. We also perform careful studies of the remainder term that is usually neglected. Based on these theoretical investigations, several algorithms are designed. Our theoretical findings and algorithmic developments are substantiated with some numerical tests.

研究动机与目标

• 为具有多个感兴趣泛函的非线性PDE中的目标导向自适应有限元方法，发展可靠且高效的后验误差估计。
• 将DWR方法扩展以同时考虑离散化误差和非线性迭代误差，从而实现对牛顿法等迭代求解器的自适应停止。
• 严格分析标准DWR估计器中常被忽略的余项，确保其高阶贡献不会损害估计器的效率。
• 在饱和假设下，为误差估计器建立理论下界（效率），该假设对一般非线性PDE和非线性目标泛函均成立。
• 设计并验证鲁棒的自适应算法，平衡离散化误差与迭代误差，实现最优收敛率。

提出的方法

• 利用带层级丰富化和单位分解局部化的对偶加权残差法推导后验误差估计器，避免了向后积分的使用。
• 提出一种改进的DWR框架，将非线性迭代误差作为误差估计器中的可计算分量，从而实现牛顿法的自适应停止。
• 采用饱和假设推导误差估计器的下界，证明其对一般非线性PDE和目标泛函的效率。
• 分析误差估计器中的余项，表明其为高阶项，因此在实际中可忽略，从而为标准公式中忽略该余项提供了理论依据。
• 设计同时细化网格并控制迭代误差的自适应算法，利用效果系数监控估计器质量。
• 采用误差估计器的变分形式，并通过p-Laplacian模型上多个泛函的数值实验验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有多个目标泛函的非线性PDE中的DWR方法推导出双侧后验误差估计，同时包含离散化误差和迭代误差？
• RQ2 在何种条件下可证明误差估计器具有效率，即其下界常数接近于1？
• RQ3 DWR误差估计器中的余项有多重要？能否严格界定或忽略？
• RQ4 能否将DWR方法扩展以平衡离散化误差与非线性迭代误差，从而支持迭代求解器的自适应停止？
• RQ5 所提出的估计器与自适应算法在实际中是否能实现最优收敛率，特别是在非线性和非对称问题中？

主要发现

• 数值测试表明，所提出的双侧误差估计器的效果系数非常接近于1，证实了其可靠性和高效性。
• 余项在DWR估计器中被证明为高阶项，因此在标准公式中忽略它不会影响估计器质量，具有理论依据。
• 饱和假设使得下界得以推导，证明了该误差估计器对单个和多个目标泛函的效率。
• 基于完整误差估计器的自适应加密可实现改进的收敛率，对组合泛函 $J_{\mathfrak{E}}$ 观测到 $\mathcal{O}(\text{DOFs}^{-1})$ 的收敛阶。
• 在估计器中引入迭代误差，使得牛顿法能够采用仿射不变的停止准则，提升了鲁棒性与效率。
• 数值结果证实，仅使用原问题部分的估计器不足以实现可靠的误差估计，必须包含伴随部分和迭代部分的完整估计器，才能实现准确的效果系数。