[论文解读] Two species nonlocal diffusion systems with free boundaries

Yihong Du, Mingxin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 17被引用 14

一句话总结

本文研究具有自由边界条件的两物种非局部扩散系统，以模拟长距离扩散下的种群扩散。该研究建立了全局解的存在唯一性，证明了扩散-灭绝二分法，并推导出扩散与灭绝的精确判据；在弱竞争与弱捕食情形下，确定了种群的长期渐近行为，表明其收敛至由模型参数决定的特定平衡水平。

ABSTRACT

We study a class of free boundary systems with nonlocal diffusion, which are natural extensions of the corresponding free boundary problems of reaction diffusion systems. As before the free boundary represents the spreading front of the species, but here the population dispersal is described by "nonlocal diffusion" instead of "local diffusion". We prove that such a nonlocal diffusion problem with free boundary has a unique global solution, and for models with Lotka-Volterra type competition or predator-prey growth terms, we show that a spreading-vanishing dichotomy holds, and obtain criteria for spreading and vanishing; moreover, for the weak competition case and for the weak predation case, we can determine the long-time asymptotic limit of the solution when spreading happens. Compared with the single species free boundary model with nonlocal diffusion considered recently in \cite{CDLL}, and the two species cases with local diffusion extensively studied in the literature, the situation considered in this paper involves several extra difficulties, which are overcome by the use of some new techniques.

研究动机与目标

• 将具有自由边界的非局部扩散模型从单物种扩展至具有共享扩散前沿的两物种系统。
• 分析在非局部扩散下两种相互作用物种的长期行为，特别是竞争与捕食情景。
• 为具有非局部扩散的自由边界问题建立解的存在性、唯一性及全局适定性。
• 推导物种扩散与灭绝的充分条件，并刻画扩散发生时的渐近特征。
• 通过迭代边界法与稳定性分析，确定弱竞争与弱捕食情形下种群密度的长期极限。

提出的方法

• 模型采用形如 $ d_i \int J_i(x-y)u_i(t,y)dy - d_i u_i $ 的非局部扩散算子，替代局部扩散以捕捉长距离扩散。
• 自由边界 $ g(t) $ 与 $ h(t) $ 按照每种群的外流通量演化，其速率与 $ \mu_i \int_{g(t)}^{h(t)} \int_{h(t)}^\infty J_i(x-y)u_i(t,x) dy dx $ 成正比。
• 提出一种新颖的迭代边界技术，通过基于模型参数的递归序列控制种群密度的上下限随时间的变化。
• 分析依赖于比较原理与先验估计，以建立扩散-灭绝二分法及长期收敛性。
• 在弱竞争与弱捕食情形下，该方法构造了嵌套的上下界序列，其收敛至平衡值。
• 理论工具包括生长函数的局部利普希茨连续性、核函数的正则性（J），以及对演化方程中非局部积分项的精细处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有自由边界的两物种非局部扩散系统表现出扩散-灭绝二分法？
• RQ2 在非局部扩散存在的情况下，决定两物种扩散或灭绝的判据是什么？
• RQ3 在弱竞争情形下，两物种的长期渐近特征如何表现？其极限种群水平为何？
• RQ4 在弱捕食情形下，系统的长期行为如何？种群是否收敛至稳定共存状态？
• RQ5 非局部扩散核与共享自由边界相较于局部扩散模型如何影响系统动力学？

主要发现

• 通过能量估计与比较技术，证明了系统对所有时间存在唯一全局解。
• 扩散-灭绝二分法成立：两物种或均无限扩散，或均灭绝，不存在中间状态。
• 在弱竞争情形下，$ u_1 $ 与 $ u_2 $ 的长期极限分别收敛至 $ \frac{a_1b_2 - a_2c_1}{b_1b_2 - c_1c_2} $ 与 $ \frac{a_2b_1 - a_1c_2}{b_1b_2 - c_1c_2} $，在 $ \mathbb{R} $ 上局部一致。
• 在弱捕食情形下，$ u_1 $ 与 $ u_2 $ 的长期极限分别收敛至 $ \frac{a_1b_2 - a_2c_1}{b_1b_2 + c_1c_2} $ 与 $ \frac{a_1c_2 + a_2b_1}{b_1b_2 + c_1c_2} $，在 $ \mathbb{R} $ 上局部一致。
• 收敛性通过单调收敛至平衡值的迭代边界序列得以证明。
• 结果推广了单物种非局部自由边界模型，并将经典两物种局部扩散系统扩展至具有共享扩散前沿的非局部扩散情形。