[论文解读] Type and cotype of operator spaces

Hun Hee Lee|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文引入了两种新的算子空间概念——$S_p$-型/$S_q$-共型，以及针对齐次希尔伯特算子空间 $H$ 的型$(p,H)$/共型$(q,H)$，推广了皮西尔的 $OH$-共型 2。文章建立了格罗滕迪克定理和莫雷伊扩张定理的算子空间版本，证明具有型$(2,H)$与共型$(2,H^*)$的算子空间完全同构于 $H(I)$，从而通过这些新不变量刻画了其结构。

ABSTRACT

We consider two operator space versions of type and cotype, namely $S_p$-type, $S_q$-cotype and type $(p,H)$, cotype $(q,H)$ for a homogeneous Hilbertian operator space $H$ and $1\leq p \leq 2 \leq q\leq \infty$, generalizing "$OH$-cotype 2" of G. Pisier. We compute type and cotype of some Hilbertian operator spaces and $L_p$ spaces, and we investigate the relationship between a homogeneous Hilbertian space $H$ and operator spaces with cotype $(2,H)$. As applications we consider operator space versions of generalized little Grothendieck's theorem and Maurey's extension theorem in terms of these new notions.

研究动机与目标

• 通过 $S_p$-型和 $S_q$-共型，将皮西尔的 $OH$-共型 2 推广至更广泛的算子空间设定。
• 为齐次希尔伯特算子空间 $H$ 定义型$(p,H)$ 与共型$(q,H)$，以统一并扩展现有的共型理论。
• 研究齐次希尔伯特空间 $H$ 与具有共型$(2,H)$ 的算子空间之间的关系，特别是对 $L_p$ 空间的情形。
• 建立经典定理的算子空间类比，包括推广的格罗滕迪克小定理与莫雷伊扩张定理。
• 确定使得 $S_1$ 具有共型$(2,H)$ 的“最优” $H$，明确 $H$ 在共型分类中的作用。

提出的方法

• 通过完全 $(q,2)$-求和范数 $\pi^{o}_{q,2}(u)$ 定义 $S_p$-型与 $S_q$-共型，利用迹对偶性推广皮西尔的 $OH$-共型 2。
• 通过基于 $H$ 的张量范数 $\|\cdot\|_{E\otimes_{\min}H}$ 引入型$(p,H)$ 与共型$(q,H)$，要求 $H$ 为次二次型以保证范数有效性。
• 使用超积技巧并借助通过 $\ell_2(I)$ 的因子分解，将无穷维问题约化为有限维问题。
• 应用文献 [20] 中的定理 6.1，将映射因子分解至 $H(I)$，利用 $H$ 与 $H^*$ 的次二次性及对偶性质。
• 利用哈尔-巴拿赫定理将有界映射 $u:G\to F$ 延拓为 $\tilde{u}:E\to F$，且完全有界范数受控。
• 通过 $\ell^*$ 与 $\pi^{o}_{2}$ 上的对偶性与范数估计，建立关键不等式 $\gamma_H(\tilde{u}) \leq T_{2,H}(E) C_{2,H^*}(F) \|u\|$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在算子空间设定下，特别是当 $q>2$ 时，巴拿赫空间型与共型的适当推广是什么？
• RQ2 新定义的 $S_p$-型/$S_q$-共型与型$(p,H)$/共型$(q,H)$ 在 $L_p$ 空间与希尔伯特算子空间中如何表现？
• RQ3 对于 $S_1$ 具有共型$(2,H)$ 的情形，哪个齐次希尔伯特空间 $H$ 是最优的？此处的‘最优’具体指什么？
• RQ4 能否利用这些新不变量建立算子空间版本的格罗滕迪克定理与莫雷伊扩张定理？
• RQ5 当一个算子空间同时具有型$(2,H)$ 与共型$(2,H^*)$ 时，会导出何种结构刻画？

主要发现

• 本文证明了具有型$(2,H)$ 与共型$(2,H^*)$ 的算子空间完全同构于某个指标集 $I$ 的 $H(I)$，从而提供了完全的结构刻画。
• 对于 $1\leq p\leq 2$ 的 $L_p$ 空间，$H$ 的选择显著影响型$(p,H)$ 与共型$(q,H)$ 的行为，且已为 $S_1$ 具有共型$(2,H)$ 的情形确定了最优 $H$。
• $S_q$-共型概念允许将皮西尔的 $OH$-共型 2 有效推广至 $q>2$，其中定义中以 $\pi^{o}_{q,2}$ 取代 $\pi^{o}_2$。
• 算子空间版本的莫雷伊扩张定理成立：若 $E$ 具有型$(2,H)$ 且 $F$ 具有共型$(2,H^*)$，则任一定义在子空间 $G\subset E$ 上的映射 $u:G\to F$ 可延拓为 $\tilde{u}:E\to F$，且满足 $\gamma_H(\tilde{u}) \leq T_{2,H}(E) C_{2,H^*}(F) \|u\|$。
• 完全 $(q,2)$-求和范数 $\pi^{o}_{q,2}$ 对于 $q>2$ 不受完全有界范数控制，表明完全 $(q,2)$-求和映射严格弱于完全有界映射。
• 本文表明 $\pi^{o}_{q,2}(I_n) \lesssim n^{1/4 + 1/(2q)}$ 且 $\|I_n\|_{cb} \gtrsim n^{1/4 - 1/(2q)}$，这意味着当 $q>2$ 时，完全 $(q,2)$-求和不蕴含完全有界性。