[论文解读] U(g)-finite locally analytic representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|May 8, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 16

一句话总结

该论文通过解析D(G,K)-模构建了p-进李群局部解析表示的对偶框架，表明U(g)-有限的解析模可分解为不可约代数表示与光滑强可接受表示的张量积的有限直和。关键贡献在于针对分裂、半单、单连通群，给出了U(g)-有限解析模的完整结构定理，并将其应用于SL₂(Qp)的主系由，证明其拓扑长度至多为三。

ABSTRACT

In this paper we continue the study of locally analytic representations of a $p$-adic Lie group $G$ in vector spaces over a spherically complete non-archimedean field $K$, building on the algebraic approach to such representations introduced in our paper "Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL_2." In that paper we associated to a representation $V$ a module $M$ over the ring $D(G,K)$ of locally analytic distributions on $G$ and described an admissibility condition on $V$ in terms of algebraic properties of $M$. In this paper we determine the relationship between our admissibility condition on locally analytic modules and the traditional admissibility of Langlands theory. We then analyze the class of locally analytic representations with the property that their associated modules are annihilated by an ideal of finite codimension in the universal enveloping algebra of G, showing under some hypotheses on G that they are sums of representations of the form $X\otimes Y$, with X finite dimensional and Y smooth. The irreducible representations of this type are obtained when X and Y are irreducible. We conclude by analyzing the reducible members of the locally analytic principal series of $SL_2(\Qp)$.

研究动机与目标

• 通过解析D(G,K)-模建立p-进李群局部解析表示的对偶框架。
• 以不可约分量的分解形式刻画U(g)-有限解析D(G,K)-模。
• 确定SL₂(Qp)局部解析主系由表示的结构，特别是其拓扑长度。
• 阐明光滑表示在何种条件下通过对方偶性产生解析D(G,K)-模。
• 将哈里什-钱德拉关于强可接受表示的理论推广至非代数闭系数域。

提出的方法

• 将解析D(G,K)-模范畴定义为对偶函子作用于局部解析G-表示的像。
• 通过要求存在分离点的局部解析线性泛函，代数地定义解析模，避免显式使用拓扑。
• 利用光滑表示与解析D(G,K)-模之间的对偶性，刻画光滑表示为强可接受的条件。
• 将理论应用于Qp有限扩张L上的半单群G，特别关注分裂、半单、单连通群。
• 通过分解相应的D(G,K)-模并研究其商模，分析SL₂(Qp)的局部解析主系由。
• 通过在幂零根上的多项式函数与微分算子的显式计算，建立正合列并分析子模。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时p-进群的光滑表示在对方偶性下产生解析D(G,K)-模？
• RQ2 在Qp上分裂、半单、单连通群上，U(g)-有限解析D(G,K)-模的结构为何？
• RQ3 SL₂(Qp)的局部解析主系由的拓扑长度是多少？
• RQ4 在非代数闭域上，强可接受性与有限长度条件在光滑表示中如何相互作用？
• RQ5 U(g)-有限解析模的对偶在不可约分量下的精确分解为何？

主要发现

• 光滑表示在对方偶性下产生解析D(G,K)-模当且仅当其为强可接受，即紧开子群的不可约表示重数有限。
• 在Qp有限扩张L上，有限长度的光滑表示必为强可接受，将哈里什-钱德拉的结果推广至非代数闭系数域。
• 在分裂、半单、单连通群上，U(g)-有限解析D(G,K)-模可分解为形如E ⊗ Hom(V,K)的有限直和，其中E为有限维不可约代数表示，V为光滑且强可接受。
• 对偶表示E* ⊗ V作为K[G]-模是单的当且仅当V为不可约。
• SL₂(Qp)的局部解析主系由的拓扑长度至多为三，通过不同方法证实了Morita的结果。
• 诱导表示上互换算子的核具有Jordan-Hölder列，其构成部分同构于诱导代数表示与不可约光滑表示对偶的张量积。